Intégrale

Calcul gratuit de primitive, d’intégrale de a à b, d’aire et de valeur moyenne pas à pas, avec intégration par parties.

Ce que vous cherchez

Exemples : x², 1/x, x·e^x, 2x/(x²+1), sin(x), √x, ln(x). x est la variable ; e et π sont reconnus.

Nombre, fraction (1/2), pi ou e : par exemple 0, 1/2, pi, e.

Fonctions reconnues : polynômes, √, ln, exp, sin, cos, tan et les formes u′/u, u′uⁿ, u′eᵘ, plus l’intégration par parties (x·eˣ, ln x, x·ln x, x·sin x, x·cos x). Les valeurs exactes sont vérifiées par la méthode de Simpson ; sinon seule une estimation est donnée.

REÇU DE CALCUL- / - / -
Intégrale x·eˣ dx = 1

∫_0^1 x·eˣ dx = 1 (intégration par parties).

00,20,40,60,8100,511,522,5
Ce que vous cherchezIntégrale de a à b
f(x)x·eˣ
Borne a0
Borne b1
Méthodeintégration par parties
Primitive utilisée F(x)F(x) = x·eˣ − eˣ
Crochet [F(x)][x·eˣ − eˣ]_0^1 = 1
Vérification (Simpson)≈ 1
Valeur moyenne μ1
PDF : reçu, graphique et tableau détaillé.

Solution détaillée

  1. f est continue sur [0 ; 1], donc l'intégrale existe et on peut utiliser une primitive de f.

  2. On cherche une primitive F de la fonction f définie par f(x) = x·eˣ.

  3. Intégration par parties : on pose u = x et v′ = eˣ. Alors u′ = 1 et v = eˣ.

  4. ∫ u v′ dx = uv − ∫ u′v dx = x·eˣ − ∫ (eˣ) dx.

  5. On pose u = x ; alors u′ = 1.

  6. Forme u′eᵘ : ∫ u′eᵘ dx = eᵘ.

  7. Une primitive de f est F(x) = x·eˣ − eˣ. Les primitives de f sont les fonctions F(x) + C, avec C ∈ ℝ.

  8. Pour l'intégrale, la formule s'écrit ∫_0^1 u v′ dx = [uv]_0^1 − ∫_0^1 u′v dx ; on la calcule avec la primitive trouvée.

  9. ∫_0^1 x·eˣ dx = [F(x)]_0^1 = F(1) − F(0), avec F(x) = x·eˣ − eˣ.

  10. F(1) = 0 et F(0) = −1.

  11. ∫_0^1 x·eˣ dx = 1.

  12. Vérification numérique (méthode de Simpson) : ≈ 1.

À quoi sert cet outil ?

Ce calculateur donne une primitive d’une fonction, la valeur d’une intégrale de a à b, l’aire sous une courbe et la valeur moyenne, en écrivant la solution comme dans un cahier de 2ᵉ Bac. Il couvre les polynômes, √, ln, exp, sin, cos et les formes du programme : u′/u, u′uⁿ, u′eᵘ, ainsi que l’intégration par parties pour x·eˣ, ln x, x·ln x, x·sin x et x·cos x.

Chaque primitive est vérifiée en la dérivant et en la comparant à f, et chaque intégrale est comparée à la méthode de Simpson. Si une vérification échoue, aucun résultat exact n’est affiché. Quand aucune méthode du programme ne s’applique, par exemple pour e^(x²), le calculateur donne seulement une valeur numérique marquée comme estimation, jamais une primitive inventée.

Il convient aux élèves de Sciences Mathématiques et de Sciences Expérimentales qui veulent contrôler un exercice avant de le rédiger. Pour dériver une fonction, utilisez le calculateur de dérivées.

Comment l’utiliser

  1. Tapez la fonction avec x comme variable, par exemple x·e^x, 2x/(x²+1) ou sin(x), ou touchez un exemple.
  2. Choisissez Primitive, Intégrale de a à b ou Aire, puis saisissez les bornes a et b (nombres, fractions, pi ou e).
  3. Lisez le résultat exact et sa valeur décimale, la courbe avec l’aire colorée et la solution détaillée, puis copiez-la ou téléchargez le PDF.

Les bornes acceptent les nombres, les fractions comme 1/2, ainsi que pi et e. Le mode Aire demande a < b. Le résultat exact s’écrit avec le crochet [F(x)] et les bornes, et le symbole ≈ n’apparaît que pour une valeur arrondie. Le bouton Partager copie un lien avec la même fonction et les mêmes bornes.

Méthode de calcul

f(x)Primitive F(x)
kkx
xⁿ (n ≠ −1)xⁿ⁺¹/(n + 1)
1/xln|x|
eˣeˣ
cos xsin x
sin x−cos x
u′uⁿ (n ≠ −1)uⁿ⁺¹/(n + 1)
u′/uln|u|
u′/√u2√u
u′eᵘeᵘ

∫ u v′ dx = [uv] − ∫ u′v dx  ·  ∫ab f(x) dx = [F(x)]ab = F(b) − F(a)
Aire : 𝒜 = ∫ab |f(x)| dx en unités d’aire (u.a.)  ·  Valeur moyenne : μ = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx

Une primitive de f est une fonction F telle que F′ = f. Elle n’est pas unique : on peut toujours ajouter une constante C. Pour calculer une intégrale de a à b, on prend n’importe quelle primitive et on calcule F(b) − F(a), noté [F(x)] avec les bornes a et b.

Pour reconnaître la forme u′uⁿ, u′/u ou u′eᵘ, on pose u, on calcule u′, puis on compare. Le calculateur accepte un facteur constant : x·e^(x²) est la moitié de 2x·e^(x²), donc une primitive est ½e^(x²). Pour u′/u, on écrit ln|u|, et ln(u) si u > 0.

L’intégration par parties sert pour un produit. On choisit u et v′, on calcule u′ et v, puis ∫ u v′ = [uv] − ∫ u′v. Pour ln x, on pose u = ln x et v′ = 1. L’aire entre la courbe et l’axe des abscisses se calcule avec |f| : on découpe aux points où f change de signe.

Exemple détaillé

Exemple 1 : ∫ de 0 à 1 de x·eˣ dx (par parties)

  1. On pose u = x et v′ = eˣ. Alors u′ = 1 et v = eˣ.
  2. ∫ u v′ dx = uv − ∫ u′v dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx, donc F(x) = x·eˣ − eˣ.
  3. [F(x)] de 0 à 1 = F(1) − F(0), avec F(1) = e − e = 0 et F(0) = 0 − 1 = −1.
  4. L’intégrale vaut 0 − (−1) = 1. La méthode de Simpson donne aussi 1.

∫ de 0 à 1 de x·eˣ dx = 1 (valeur exacte).

Autre scénario : aire de f(x) = x² − 1 sur [0 ; 2]

  1. f(x) = 0 pour x = 1 : f ≤ 0 sur [0 ; 1] et f ≥ 0 sur [1 ; 2]. On découpe en 1.
  2. Une primitive est F(x) = x³/3 − x.
  3. Sur [0 ; 1] : F(1) − F(0) = −2/3 − 0 = −2/3, donc l’aire est 2/3.
  4. Sur [1 ; 2] : F(2) − F(1) = 2/3 − (−2/3) = 4/3. Au total 2/3 + 4/3 = 2.

𝒜 = 2 u.a. (alors que ∫ de 0 à 2 de f vaut 2/3 : il faut découper).

Comprendre les résultats

Primitive et constante C

Si F est une primitive de f, alors F + C en est une aussi, pour tout réel C. Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante. Le calculateur affiche F(x) + C en mode Primitive.

Le crochet [F(x)] et l’intégrale

Le crochet [F(x)] avec les bornes a et b signifie F(b) − F(a). Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, car la constante disparaît dans la différence. Une intégrale existe si f est continue sur [a ; b].

Aire et unités d’aire

Si f est positive, l’aire sous la courbe est l’intégrale. Si f change de signe, on découpe et on prend la valeur absolue de chaque morceau. L’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle formé par les unités des deux axes.

Valeur moyenne

La valeur moyenne de f sur [a ; b] est μ = (1/(b − a)) ∫ f. Pour x² sur [0 ; 3], l’intégrale vaut 9 et μ = 9/3 = 3. Elle donne la hauteur du rectangle de même aire.

Conseils et limites

  • Écrivez les puissances avec ^ ou ², par exemple (2x+1)^5, et utilisez des parenthèses pour les fractions : 2x/(x²+1).
  • Pour une dérivée et son tableau de variations, le calculateur d’étude de fonction complète cette page.
  • Vérifiez l’énoncé : ∫ de −1 à 1 de 1/x dx n’existe pas, car 1/x n’est pas définie en 0.
  • Une valeur marquée « estimation » n’est pas une démonstration : à l’examen, il faut trouver la primitive.

Erreurs à éviter

  • Oublier le signe moins dans la primitive de sin x, qui est −cos x.
  • Écrire ln(x) au lieu de ln|x| quand x peut être négatif.
  • Calculer F(a) − F(b) au lieu de F(b) − F(a).
  • Ne pas découper l’aire là où f change de signe, ce qui compense les morceaux.

Questions fréquentes

Comment calculer une intégrale ?

On cherche une primitive F de f, puis ∫ de a à b de f(x) dx = F(b) − F(a). Pour f(x) = x² de 0 à 1 : F(x) = x³/3, donc l’intégrale vaut 1/3 − 0 = 1/3.

Quand utiliser l’intégration par parties ?

Pour un produit comme x·eˣ ou pour ln x. On pose u = x et v′ = eˣ, puis ∫ u v′ = [uv] − ∫ u′v. Ici ∫ de 0 à 1 de x·eˣ dx = [x·eˣ − eˣ] = 1.

Comment obtenir une aire en unités d’aire ?

L’aire entre la courbe et l’axe des abscisses est ∫ |f(x)| dx. On découpe là où f change de signe. Pour x² − 1 sur [0 ; 2], on coupe en 1 et l’aire vaut 2 u.a.

Comment reconnaître u′/u ?

Le numérateur est la dérivée du dénominateur, au facteur constant près. Pour 2x/(x² + 1), u = x² + 1 et u′ = 2x, donc une primitive est ln(x² + 1). L’intégrale de 0 à 1 vaut ln 2.

Pourquoi certaines intégrales n’ont-elles qu’une estimation ?

Des fonctions comme e^(x²) n’ont pas de primitive avec les formules du programme. Le calculateur donne alors la valeur de Simpson, environ 1,4627 de 0 à 1, marquée comme estimation.

Peut-on calculer l’intégrale de (2x + 1)⁵ ?

Oui : c’est la forme u′uⁿ au facteur 1/2 près. Une primitive est (2x + 1)⁶/12, et l’intégrale de 0 à 1 vaut 182/3.

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