À quoi sert cet outil ?
Ce calculateur dérive une fonction comme on le demande en 2ᵉ année du bac (Sciences Maths et Sciences Expérimentales) : polynômes, fractions, racine carrée, ln, exponentielle, sin, cos, tan et leurs compositions. Il écrit chaque règle utilisée en une étape, avec u, v, u′ et v′ remplis, puis donne f′(x) sous la forme qu’on écrit en classe.
Il donne aussi les conditions d’existence (x ≠ 3, x > 0…), le nombre dérivé f′(a), l’équation de la tangente en x = a et la dérivée seconde f″(x). Le résultat est comparé à la pente numérique de la courbe en plusieurs points : au moindre doute, rien n’est affiché.
C’est un outil pour vérifier un exercice et comprendre la méthode, avant d’étudier le signe de f′ avec l’étude de fonction ou de calculer une limite.
Comment l’utiliser
- Tapez la fonction avec x comme variable, par exemple 3x² − 2x + 1, (2x + 1)/(x − 3), ln(x)/x, x·e^x ou sqrt(x² + 1), ou touchez un exemple.
- Facultatif : saisissez un point a pour obtenir le nombre dérivé f′(a) et la tangente, et cochez « Afficher f″(x) » pour la dérivée seconde.
- Lisez la dérivée et les conditions, puis la solution détaillée : une étape par règle utilisée, comme dans la correction d’un exercice.
Écrivez 2x pour 2 × x, 3(x + 1) pour 3 × (x + 1), x^2 ou x² pour une puissance, sqrt(x) ou √(x) pour la racine, e^x ou exp(x), ln(x). Les angles sont en radians. Le bouton Partager copie un lien avec la même fonction et le même point.
Méthode de calcul
(uv)′ = u′v + uv′ · (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² · (1/v)′ = −v′/v² · (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹
(√u)′ = u′/(2√u) · (ln u)′ = u′/u · (e^u)′ = u′·e^u
(sin u)′ = u′·cos u · (cos u)′ = −u′·sin u · (tan u)′ = u′(1 + tan² u)
Tangente en a : y = f′(a)(x − a) + f(a)
Avec (uv)′ et (u/v)′, on pose d’abord u et v, puis on calcule u′ et v′. Pour une composée comme √(3x² + 1), on prend u = 3x² + 1 : (√u)′ = u′/(2√u) = 6x/(2√(3x² + 1)) = 3x/√(3x² + 1). Le résultat est ensuite simplifié : termes regroupés, numérateur développé, facteurs communs sortis.
Les conditions viennent de la fonction : un dénominateur doit être non nul, un argument de ln ou de √ doit être strictement positif. Quand l’expression est de degré 1, la condition est résolue (2x − 1 > 0 donne x > 1/2) ; sinon elle est écrite telle quelle, par exemple x² − 4 > 0.
Le nombre dérivé f′(a) est la pente de la tangente au point d’abscisse a. L’équation de la tangente est y = f′(a)(x − a) + f(a), simplifiée en y = mx + p avec des valeurs exactes (fractions, e, ln 2…) chaque fois que c’est possible.
Exemple détaillé
Exemple 1 : f(x) = (2x + 1)/(x − 3) au point a = 4
- Condition : x − 3 ≠ 0, donc f est dérivable sur ℝ∖{3}.
- On pose u = 2x + 1 et v = x − 3, donc u′ = 2 et v′ = 1.
- Quotient : f′(x) = (u′v − uv′)/v² = (2(x − 3) − (2x + 1))/(x − 3)² = −7/(x − 3)².
- En a = 4 : f(4) = 9 et f′(4) = −7.
- Tangente : y = f′(4)(x − 4) + f(4) = −7(x − 4) + 9 = −7x + 37.
f′(x) = −7/(x − 3)², et (T) : y = −7x + 37.
Autre scénario : f(x) = x·e^x au point a = 0
- f est dérivable sur ℝ. On pose u = x et v = e^x, donc u′ = 1 et v′ = e^x.
- Produit : f′(x) = u′v + uv′ = e^x + x·e^x = (x + 1)e^x.
- En a = 0 : f(0) = 0 et f′(0) = 1, donc (T) : y = x.
- Dérivée seconde : on dérive (x + 1)e^x avec le même produit, f″(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x, et f″(0) = 2.
f′(x) = (x + 1)e^x, f″(x) = (x + 2)e^x et (T) : y = x.
Comprendre les résultats
Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé f′(a) est la limite du taux d’accroissement (f(x) − f(a))/(x − a) quand x tend vers a. Graphiquement, c’est le coefficient directeur de la tangente en a. Si f′(a) = 0, la tangente est horizontale.
Dérivabilité et ensemble de définition
Une fonction n’est dérivable que là où elle est définie et où les règles s’appliquent. La fonction √x est définie en 0 mais n’y est pas dérivable : f′(x) = 1/(2√x) n’existe que pour x > 0.
Signe de la dérivée
Si f′ > 0 sur un intervalle, f est strictement croissante ; si f′ < 0, elle est strictement décroissante ; si f′ s’annule en changeant de signe, f admet un extremum. Le calcul de limites complète l’étude pour les bornes du domaine.
Dérivée seconde
f″ est la dérivée de f′. Si f″ > 0, la courbe est convexe (au-dessus de ses tangentes) ; si f″ s’annule en changeant de signe, la courbe a un point d’inflexion.
Conseils et limites
- Vérifiez toujours les conditions : la dérivée de ln(x) n’a de sens que pour x > 0.
- Pour comparer avec votre copie, développez ou factorisez : (x + 1)e^x et x·e^x + e^x sont égaux.
- Pour une primitive ou une aire, utilisez le calculateur d’intégrales : intégrer est l’opération inverse de dériver.
- Le résultat est exact (fractions, e, ln) ; une valeur décimale est marquée ≈. L’outil aide à vérifier, mais la rédaction de l’examen reste à faire.
Erreurs à éviter
- Oublier le facteur u′ pour une composée : (e^(2x))′ = 2e^(2x), et non e^(2x).
- Écrire (uv)′ = u′v′ : la bonne formule est u′v + uv′.
- Inverser le numérateur d’un quotient : c’est u′v − uv′, dans cet ordre.
- Dériver ln(x²) en 1/x² : la bonne dérivée est 2x/x² = 2/x.
Questions fréquentes
Comment dériver un quotient ?
On pose u et v, puis on applique (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Pour f(x) = (2x + 1)/(x − 3) : u′ = 2 et v′ = 1, donc f′(x) = (2(x − 3) − (2x + 1))/(x − 3)² = −7/(x − 3)², pour x ≠ 3.
Comment trouver l’équation de la tangente ?
En x = a, elle s’écrit y = f′(a)(x − a) + f(a). Pour f(x) = x² en a = 1 : f(1) = 1 et f′(1) = 2, donc y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
Quelle est la dérivée de ln u et de e^u ?
(ln u)′ = u′/u avec u > 0, et (e^u)′ = u′·e^u. Par exemple (ln(2x − 1))′ = 2/(2x − 1) et (e^(2x + 1))′ = 2e^(2x + 1).
Que faire si la dérivée n’apparaît pas ?
Vérifiez la syntaxe : une parenthèse manquante ou un mot inconnu est signalé sous la case. Écrivez ln pour le logarithme népérien ; « log » est refusé car il est ambigu.
Pourquoi f′(a) n’existe-t-elle pas ?
Parce que f ou f′ n’est pas définie en a, comme 1/x en 0 ou √x en 0. Il n’y a alors ni nombre dérivé ni tangente en ce point.
Les résultats sont-ils fiables ?
Chaque dérivée est comparée à la pente numérique de f en plusieurs points ; si l’écart est trop grand, le calcul est refusé et rien n’est affiché.