À quoi sert cet outil ?
Ce solveur traite les équations du premier degré de la forme ax + b = cx + d, où x peut apparaître des deux côtés. Il résout aussi les inéquations du premier degré avec >, ≥, < ou ≤. Saisissez les quatre coefficients : vous obtenez la solution, l’ensemble des solutions S et toutes les étapes du calcul.
La réponse est exacte. Si la solution est 1/3, vous voyez 1/3 et sa valeur décimale 0,3333, pas seulement un arrondi. Pour une inéquation, le résultat est un intervalle comme ]−∞ ; 3[, et une droite graduée montre les valeurs qui conviennent. Les cas particuliers sont expliqués : aucune solution, ou tous les réels solutions.
L’outil s’adresse aux élèves du collège et du lycée qui veulent vérifier un exercice, et à toute personne qui compare deux prix ou deux forfaits. Pour résoudre deux équations à deux inconnues en même temps, utilisez le solveur de systèmes d’équations.
Comment l’utiliser
- Choisissez Équation ou Inéquation.
- Saisissez a et b (membre de gauche), puis c et d si x apparaît aussi à droite. Laissez c et d vides pour une équation ax + b = 0.
- Lisez la solution, l’ensemble S et la solution détaillée, avec la vérification.
Les coefficients peuvent être des entiers, des décimaux avec une virgule ou un point, des nombres négatifs ou des fractions comme 3/4. Si vous tapez une fraction, les résultats restent en fractions. Le résultat se met à jour pendant la saisie, et le bouton Partager copie un lien qui rouvre la même équation.
Méthode de calcul
a ≠ c : x = (d − b) ÷ (a − c) · a = c : S = ℝ (b = d) ou S = ∅ (b ≠ d)
k < 0: kx > m ⇔ x < m ÷ k
Résoudre, c’est isoler x. On place d’abord tous les termes en x à gauche et tous les nombres à droite. Un terme qui change de membre change de signe : +5 à gauche devient −5 à droite. On réduit chaque membre pour obtenir (a − c)x = d − b, puis on divise les deux membres par a − c.
Quand a = c, les termes en x s’annulent et l’équation ne contient plus que des nombres. Si l’égalité obtenue est vraie, comme 0 = 0, tout nombre réel est solution. Si elle est fausse, comme 0 = 4, il n’y en a aucune.
Une inéquation se résout de la même façon, avec une règle en plus : quand on divise ou multiplie les deux membres par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité. Le calculateur indique quand il le fait et pourquoi.
Exemple détaillé
Exemple 1 : quand deux forfaits coûtent-ils le même prix ?
- Le forfait A coûte 30 DH par mois plus 2 DH par Go. Le forfait B coûte 60 DH plus 0,5 DH par Go. Avec x Go, les prix sont égaux si 2x + 30 = 0,5x + 60.
- On regroupe : 2x − 0,5x = 60 − 30, donc 1,5x = 30.
- On divise par 1,5 : x = 30 ÷ 1,5 = 20.
- Vérification : 2 × 20 + 30 = 70 et 0,5 × 20 + 60 = 70.
À 20 Go, les deux forfaits coûtent 70 DH. Au-delà de 20 Go, le forfait B est moins cher.
Autre scénario : jusqu’où aller en taxi avec 50 DH ?
- Prenons une prise en charge de 7 DH plus 4 DH par km (prix d’exemple). Avec x km, il faut 4x + 7 ≤ 50.
- On déplace le 7 : 4x ≤ 50 − 7, donc 4x ≤ 43.
- On divise par 4, un nombre positif, donc le sens reste le même : x ≤ 43 ÷ 4 = 10,75.
S = ]−∞ ; 10,75]. Une distance est positive : vous pouvez parcourir jusqu’à 10,75 km.
Comprendre les résultats
Pourquoi le sens change
Prenons −2x + 6 > 0. En déplaçant 6, on obtient −2x > −6. En divisant par −2, on obtient x < 3, et non x > 3. Vérifions avec x = 0 : −2 × 0 + 6 = 6 est bien plus grand que 0, et 0 est bien plus petit que 3.
Aucune solution ou tous les nombres
Avec 2x + 1 = 2x + 5, les x s’annulent et il reste 1 = 5, ce qui est faux : S = ∅. Avec 2x + 2 = 2x + 2, il reste 2 = 2, toujours vrai : S = ℝ. Les deux cas arrivent quand a = c.
Fraction ou décimal
3x = 1 donne x = 1/3. Sa valeur décimale 0,3333 n’est qu’une approximation, car les 3 ne s’arrêtent jamais. Dans un exercice, écrivez 1/3 ; pour une facture ou une mesure, utilisez la valeur arrondie.
Lire un intervalle
Un crochet tourné vers le nombre l’inclut : [2 ; +∞[ signifie x ≥ 2. Un crochet tourné vers l’extérieur l’exclut : ]−∞ ; 3[ signifie x < 3. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert.
Conseils et limites
- Vérifiez votre réponse en la remplaçant dans les deux membres : ils doivent donner le même nombre.
- À la main, supprimez d’abord les fractions en multipliant chaque terme par le dénominateur commun.
- Pour un problème, écrivez ce que représente x avant d’écrire l’équation.
- Utilisez le calculateur de fractions si les coefficients eux-mêmes doivent être simplifiés.
Erreurs à éviter
- Changer un terme de membre sans changer son signe.
- Diviser un seul membre de l’équation par le coefficient.
- Oublier de changer le sens de l’inégalité après une division par un nombre négatif.
- Écrire « pas de solution » quand l’équation se réduit à 0 = 0 : tous les nombres conviennent.
Questions fréquentes
Comment résoudre une équation du premier degré ?
On regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre, en changeant le signe d’un terme qui change de membre. On réduit, puis on divise par le coefficient de x. Par exemple 3x + 5 = x − 1 donne 2x = −6, donc x = −3.
Pourquoi change-t-on le sens d’une inéquation ?
Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse l’ordre : 2 < 3 mais −2 > −3. Donc dans −2x > −6, diviser par −2 donne x < 3, et non x > 3.
Que se passe-t-il si a = c ?
Le x disparaît. Si les nombres restants sont égaux (0 = 0), tout nombre est solution : S = ℝ. Sinon (par exemple 0 = 4), il n’y a aucune solution : S = ∅.
x peut-il être des deux côtés de l’équation ?
Oui. Saisissez le coefficient de x à droite dans c et le nombre de droite dans d. Pour ax + b = 0, laissez c et d vides.
Qu’est-ce qu’une équation du premier degré ?
Une équation où x n’apparaît qu’à la puissance 1 : pas de x², pas de x au dénominateur. Elle a au plus une solution, sauf quand a = c.