À quoi sert cet outil ?
Ce solveur traite toute équation du second degré ax² + bx + c = 0. Il calcule le discriminant delta Δ, dit s’il y a deux solutions, une solution double ou aucune solution réelle, et donne chaque solution sous forme exacte, avec des racines simplifiées comme 1 + √3, et sous forme décimale.
Il affiche aussi tout ce qu’un professeur peut demander ensuite : la forme factorisée, la forme canonique a(x − α)² + β, le sommet S, la somme et le produit des racines, le signe du trinôme dans un tableau, et la courbe de la parabole avec ses racines et son sommet. Quand Δ est négatif, vous pouvez afficher les deux solutions complexes.
Il s’adresse aux élèves du Maroc et d’ailleurs, du tronc commun au baccalauréat. Si a vaut 0, l’équation est du premier degré : utilisez plutôt le solveur d’équation du premier degré.
Comment l’utiliser
- Saisissez a, b et c de l’équation ax² + bx + c = 0 (a différent de 0). Un coefficient absent vaut 0.
- Lisez Δ, puis les solutions : deux, une double ou aucune solution réelle selon le signe de Δ.
- Consultez la solution détaillée, les formes factorisée et canonique, le tableau de signes et la parabole.
Les coefficients peuvent être des entiers, des nombres négatifs, des décimaux avec une virgule ou un point, ou des fractions comme 3/4. Avec des entiers ou des fractions, les résultats sont écrits en fractions, comme dans les manuels. Le résultat se met à jour pendant la saisie, et Partager copie un lien vers la même équation.
Méthode de calcul
Δ > 0 : x₁ = (−b − √Δ) / 2a, x₂ = (−b + √Δ) / 2a · Δ = 0 : x₀ = −b / 2a · Δ < 0 : S = ∅ dans ℝ
ax² + bx + c = a(x − α)² + β, α = −b / 2a, β = −Δ / 4a · x₁ + x₂ = −b / a, x₁ × x₂ = c / a
Tout part du discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ est positif, sa racine carrée existe et la formule x = (−b ± √Δ) / 2a donne deux solutions différentes. Si Δ est nul, les deux sont le même nombre, −b / 2a. Si Δ est négatif, il n’a pas de racine carrée réelle : il n’y a pas de solution réelle.
Le calculateur garde les coefficients en fractions exactes et simplifie la racine : √12 = √(4 × 3) = 2√3, donc (2 ± 2√3) / 2 devient 1 ± √3. Pour les valeurs décimales, il utilise une formule numériquement stable : il calcule d’abord la racine la plus grande en valeur absolue, puis l’autre avec x₁ × x₂ = c / a, pour que les très petites racines restent précises.
La forme canonique vient de α = −b / 2a et β = −Δ / 4a. Le sommet S(α ; β) est le point le plus bas de la parabole quand a est positif, et le plus haut quand a est négatif.
Exemple détaillé
Exemple 1 : résoudre 2x² − 3x − 2 = 0
- Coefficients : a = 2, b = −3, c = −2.
- Discriminant : Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25, et √25 = 5.
- Δ > 0, donc deux solutions : x₁ = (3 − 5) / 4 = −1/2 et x₂ = (3 + 5) / 4 = 2.
- Forme factorisée : 2(x + 1/2)(x − 2), c’est-à-dire (2x + 1)(x − 2).
S = {−1/2 ; 2}. Vérification : la somme vaut 3/2 = −b/a et le produit −1 = c/a.
Autre scénario : un jardin de 40 m²
- Un jardin rectangulaire est plus long que large de 3 m et mesure 40 m². Avec la largeur x : x(x + 3) = 40, donc x² + 3x − 40 = 0.
- Δ = 3² − 4 × 1 × (−40) = 9 + 160 = 169, et √169 = 13.
- x₁ = (−3 − 13) / 2 = −8 et x₂ = (−3 + 13) / 2 = 5. Une largeur ne peut pas être négative, donc x = 5.
Le jardin mesure 5 m de large et 8 m de long : 5 × 8 = 40 m².
Comprendre les résultats
Le signe de Δ
Δ > 0 : deux solutions, la parabole coupe l’axe des abscisses deux fois. Δ = 0 : une solution double, elle touche l’axe en son sommet. Δ < 0 : aucune solution réelle, la parabole reste au-dessus de l’axe si a > 0 et en dessous si a < 0.
Racines exactes et radicaux
Pour x² − 2x − 2 = 0, Δ = 12 n’est pas un carré parfait. Le calculateur écrit √12 = 2√3 et donne x = 1 − √3 et x = 1 + √3, soit environ −0,7321 et 2,7321. Gardez la forme exacte dans un exercice.
Forme canonique et sommet
Le même exemple s’écrit (x − 1)² − 3. Son sommet est S(1 ; −3) et, comme a = 1 est positif, −3 est la plus petite valeur que peut prendre l’expression.
Signe du trinôme
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Le tableau de signes du reçu le montre avec les valeurs de x₁ et x₂, prêt pour une inéquation comme x² − 2x − 2 < 0.
Conseils et limites
- Mettez d’abord l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0 : tous les termes d’un même côté.
- Mettez des parenthèses autour des nombres négatifs quand vous les remplacez : (−3)², et non −3².
- Vérifiez vos racines avec la somme −b/a et le produit c/a.
- Pour vérifier un nombre, la calculatrice scientifique évalue des expressions comme (3 + sqrt(17)) / 4.
Erreurs à éviter
- Oublier que b² est toujours positif ou nul : (−3)² = 9.
- Diviser seulement √Δ par 2a au lieu de tout le numérateur −b ± √Δ.
- Garder une longueur ou un prix négatif dans un problème sans vérifier que cela a un sens.
- Écrire « pas de solution » pour Δ < 0 dans un cours sur les nombres complexes, où il y en a deux.
Questions fréquentes
Comment calculer le discriminant delta ?
Δ = b² − 4ac. Pour 2x² − 3x − 2 = 0 : Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. Le signe de Δ dit combien de solutions l’équation a.
Que faire quand Δ est négatif ?
L’équation n’a pas de solution réelle et le trinôme garde le signe de a. En terminale, on écrit les deux solutions complexes z = (−b ± i√(−Δ)) / 2a : cochez la case pour les afficher.
Qu’est-ce qu’une racine double ?
Quand Δ = 0, les deux solutions sont confondues : x₀ = −b / 2a. La parabole touche l’axe des abscisses en un seul point, son sommet.
Et si a = 0 ?
Il n’y a alors plus de terme en x² et l’équation est du premier degré. Le calculateur le signale et propose le solveur d’équation du premier degré.
Pourquoi ne pas utiliser la formule habituelle pour les décimales ?
Quand b² est beaucoup plus grand que 4ac, comme dans x² + 100000000x + 1 = 0, la soustraction de deux nombres presque égaux fait perdre la petite racine. La formule stable évite cette soustraction.