À quoi sert cet outil ?
Ce calculateur étudie une fonction de x sur l’intervalle de votre choix. Tapez f(x) comme en classe, par exemple 2x + 3, x² − 2x − 3, sqrt(x) ou sin(x), indiquez le début, la fin et le pas : vous obtenez le tableau de valeurs, la courbe et les zéros de f sur cet intervalle.
Quand la fonction est affine, f(x) = mx + p, le calculateur la reconnaît et donne son coefficient directeur m et son ordonnée à l’origine p. Pour les autres fonctions, il affiche f(0) ainsi que la plus petite et la plus grande valeur du tableau, ce qui montre vite où la courbe monte et descend.
Il utilise le même analyseur que la calculatrice scientifique, avec x comme variable et les angles en radians. Il convient aux élèves du collège et du lycée qui ont besoin d’un tableau de valeurs pour tracer une courbe, ou qui veulent vérifier son allure avant de la dessiner à la main.
Comment l’utiliser
- Tapez la fonction avec x comme variable, par exemple 2x + 3, x² − 4 ou sqrt(x).
- Choisissez le début et la fin de l’intervalle, puis le pas entre deux valeurs de x.
- Lisez la courbe, le tableau de valeurs et les résultats : zéros, valeurs extrêmes du tableau, pente et ordonnée à l’origine si f est affine.
Vous pouvez écrire 2x pour 2 × x, 3(x + 1) pour 3 × (x + 1), et x² ou x^2 pour les puissances. Le pas doit être positif et le tableau compte au plus 201 lignes ; la courbe utilise toujours 400 points, quel que soit le pas. Le bouton Partager copie un lien avec la même fonction et le même intervalle.
Méthode de calcul
f(x) = mx + p : p = f(0), m = f(1) − f(0)
f(x₁) et f(x₂) de signes contraires ⇒ un zéro entre x₁ et x₂ (dichotomie)
Le tableau commence à la première valeur de x et ajoute le pas à chaque ligne, jusqu’à la fin de l’intervalle. Chaque valeur est calculée à partir de votre expression ; un point où f n’existe pas est marqué « non définie » au lieu d’arrêter tout le tableau.
Pour savoir si f est affine, le calculateur calcule p = f(0) et m = f(1) − f(0), puis vérifie que f(x) vaut mx + p en plusieurs autres points. Si c’est le cas partout, f est affine ; sinon elle ne l’est pas, même si elle paraît droite sur un petit intervalle.
Un zéro est une valeur de x où f(x) = 0. Le calculateur cherche les endroits où f change de signe, puis coupe l’écart en deux encore et encore jusqu’à connaître le zéro avec beaucoup de décimales. Un changement de signe à travers une asymptote verticale, comme 1/x en 0, n’est pas compté.
Exemple détaillé
Exemple 1 : une fonction affine, f(x) = 4x + 7
- Intervalle de 0 à 10 avec un pas de 2 : x = 0, 2, 4, 6, 8, 10, donc le tableau a 6 lignes.
- Valeurs : f(0) = 7, f(2) = 15, f(4) = 23, f(6) = 31, f(8) = 39, f(10) = 47.
- Ordonnée à l’origine p = f(0) = 7, coefficient directeur m = f(1) − f(0) = 11 − 7 = 4 : chaque unité de x en plus ajoute 4.
- Le zéro est x = −1,75, en dehors de l’intervalle : aucun zéro n’est affiché.
f est affine, de pente 4 et d’ordonnée à l’origine 7 : par exemple 7 DH de prise en charge plus 4 DH par km.
Autre scénario : une parabole, f(x) = x² − 2x − 3
- Intervalle de −2 à 4 avec un pas de 0,5 : 13 lignes.
- Le tableau descend de f(−2) = 5 jusqu’à f(1) = −4, puis remonte jusqu’à f(4) = 5.
- La courbe coupe l’axe des abscisses deux fois : les zéros sont x = −1 et x = 3.
Fonction non affine ; plus petite valeur du tableau −4 en x = 1, zéros −1 et 3.
Comprendre les résultats
Coefficient directeur et ordonnée à l’origine
Dans f(x) = mx + p, p est l’endroit où la droite coupe l’axe des ordonnées et m mesure son inclinaison. Une pente positive fait monter la droite de gauche à droite, une pente négative la fait descendre, et m = 0 donne une droite horizontale.
Lire le tableau
Un tableau ne montre f qu’aux valeurs choisies. Entre deux lignes, la fonction peut faire n’importe quoi : un pas plus petit donne une image plus fidèle. La courbe utilise 400 points pour combler les trous.
Les zéros et la courbe
Les zéros sont les points où la courbe rencontre l’axe des abscisses. Pour un trinôme, ce sont les solutions de ax² + bx + c = 0 : le solveur d’équation du second degré les donne de façon exacte, avec les radicaux.
Valeurs non définies
sqrt(x) n’a pas de valeur pour x < 0, ln(x) exige x > 0 et 1/x n’est pas définie en 0. Le tableau signale ces lignes et la courbe laisse un vide au lieu de relier les points.
Conseils et limites
- Choisissez un intervalle qui contient la partie intéressante de la courbe, puis réduisez le pas pour voir le détail.
- Mettez des parenthèses aux fractions : écrivez (x + 1)/(x − 1), et non x + 1/x − 1.
- Pour savoir où f(x) vaut un nombre k, étudiez f(x) − k et lisez ses zéros.
- Pour une solution exacte de 2x + 3 = 0, le solveur d’équation du premier degré détaille chaque étape.
Erreurs à éviter
- Oublier que les fonctions trigonométriques sont en radians ici : sin(90) ne vaut pas 1.
- Prendre le minimum du tableau pour le minimum de la fonction : il peut se trouver entre deux lignes.
- Choisir un pas si grand que le tableau rate un zéro ou un sommet.
- Dire qu’une fonction est affine parce que deux points sont alignés : il faut que ce soit vrai pour tout x.
Questions fréquentes
Comment faire un tableau de valeurs ?
On choisit des valeurs de x régulièrement espacées, puis on calcule f(x) pour chacune. Avec f(x) = 2x + 3 de 0 à 3 et un pas de 1 : f(0) = 3, f(1) = 5, f(2) = 7, f(3) = 9.
Comment trouver la pente d’une fonction affine ?
Le coefficient directeur m est la variation de f quand x augmente de 1 : m = f(1) − f(0). L’ordonnée à l’origine p est f(0). Pour 2x + 3, m = 2 et p = 3.
Pourquoi certaines valeurs sont-elles « non définies » ?
La fonction n’existe pas en ce point : racine carrée d’un nombre négatif, division par zéro ou logarithme d’un nombre négatif. Par exemple 1/x n’est pas définie en x = 0.
Puis-je copier le tableau dans un tableur ?
Oui. Le bouton Copier le résultat copie x et f(x) séparés par une tabulation, une ligne par valeur : le collage se fait sur deux colonnes.
Les zéros sont-ils précis ?
Ils sont affinés par dichotomie jusqu’à une dizaine de chiffres significatifs, puis arrondis à quatre décimales pour l’affichage. Ce sont des valeurs approchées, contrairement aux racines exactes du solveur du second degré.