Résolution de systèmes d’équations

À quoi sert cet outil ?

Un système d’équations linéaires regroupe des équations qui doivent être vraies en même temps, et où chaque inconnue est seulement multipliée par un nombre. Il apparaît dès que plusieurs conditions portent sur les mêmes grandeurs : courants d’un circuit électrique, quantités d’un mélange, équilibrage d’une réaction chimique ou ajustement d’une droite sur des mesures.

Cet outil résout le système avec la méthode de votre choix et montre chaque opération. Si vous êtes étudiant, comparez la méthode vue en cours avec votre copie et vérifiez chaque opération. Si vous êtes chercheur, vous obtenez des réponses exactes, l’analyse des rangs et les moindres carrés lorsque les données n’admettent aucune solution exacte.

Le calcul se fait dans votre navigateur, sans envoi de vos nombres à un serveur, et reste exact en fractions : 1/3 reste 1/3 jusqu’à la dernière étape. Les résultats sont indicatifs et ne remplacent pas votre propre relecture du problème.

Comment l’utiliser

1. Indiquez le nombre d’équations et d’inconnues. Chaque ligne de la grille est une équation : les coefficients de x₁, x₂… puis, après la barre, le second membre b.
2. Écrivez 0 pour une inconnue absente. Ainsi, 2x − z = 5 s’écrit 2, 0, −1 puis 5 dans la colonne b. Les fractions et les décimales sont acceptées.
3. Choisissez la méthode demandée par votre cours. Le résultat indique s’il y a une solution, aucune ou une infinité, et la solution détaillée reprend chaque opération.

Comment le calcul est fait

Tout système s’écrit A·x = b : la matrice A contient les coefficients, avec une ligne par équation et une colonne par inconnue, x contient les inconnues et b les seconds membres. La matrice augmentée [A | b] place b à côté de A : c’est la grille que vous remplissez.

Trois opérations sur les lignes ne changent pas les solutions : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, et ajouter à une ligne un multiple d’une autre. La page avance colonne par colonne : elle choisit un pivot, c’est-à-dire un nombre non nul, et s’en sert pour créer des zéros.

Le résultat se lit ensuite sur les lignes réduites. Le rang est le nombre de pivots. Une ligne qui donne 0 = valeur non nulle est impossible : rang(A|b) dépasse alors rang(A), et il n’y a aucune solution. Si les deux rangs égalent le nombre d’inconnues n, la solution est unique. S’ils sont égaux mais plus petits que n, les colonnes sans pivot donnent des inconnues libres et une infinité de solutions.

Exemples détaillés

Chaque méthode expliquée

Élimination de Gauss

La méthode générale, à choisir par défaut : elle convient à tout système, carré ou non, quel que soit le nombre de solutions.

Les opérations sur les lignes créent des zéros sous chaque pivot jusqu’à la forme échelonnée. Si la solution est unique, la remontée donne ensuite les inconnues, de la dernière à la première.

Pour 2x + y = 5 et x − y = 1, L₂ ← L₂ − (1/2)·L₁ donne (0 ; −3/2 ; −3/2), donc x₂ = 1, puis x₁ = (5 − 1·1) / 2 = 2.

Gauss-Jordan

Pour lire la réponse directement, sans remontée, ou pour obtenir l’écriture générale lorsqu’il y a des inconnues libres.

Chaque pivot est ramené à 1, puis des zéros sont créés au-dessous et au-dessus de lui, jusqu’à la forme échelonnée réduite, qui est unique.

Le même système se réduit aux lignes (1 ; 0 ; 2) et (0 ; 1 ; 1) : on lit x₁ = 2 et x₂ = 1.

Règle de Cramer

Une formule directe, pratique lorsqu’il y a peu d’inconnues. Elle demande autant d’équations que d’inconnues et un déterminant non nul.

Pour chaque inconnue, remplacez sa colonne par b pour obtenir Aᵢ, puis calculez xᵢ = det(Aᵢ) / det(A). Le calculateur de déterminant permet de vérifier chaque déterminant.

Pour le même système, det(A) = −3, det(A₁) = −6 et det(A₂) = −3, donc x₁ = (−6) / (−3) = 2 et x₂ = (−3) / (−3) = 1.

Matrice inverse

Utile lorsque A reste la même et que b change, car une seule inverse sert pour tous les seconds membres. A doit être carrée et inversible.

La page réduit [A | I], où I est la matrice identité, jusqu’à obtenir [I | A⁻¹], puis calcule x = A⁻¹ · b. La calculatrice de matrices traite aussi l’inverse seule.

Pour le même système, A⁻¹ a pour lignes (1/3 ; 1/3) et (1/3 ; −2/3), ce qui donne x₁ = 2 et x₂ = 1.

Méthode de Montante (Bareiss)

Pour les cours qui la demandent, ou pour éviter les fractions lorsque les coefficients sont entiers. Elle demande autant d’équations que d’inconnues et donne aussi le déterminant.

Chaque case hors de la ligne du pivot devient (pivot × case − case de la colonne du pivot × case de la ligne du pivot) / pivot précédent, le premier pivot précédent valant 1. Avec des entiers, chaque division tombe juste. À la fin, le dernier pivot occupe toute la diagonale : il donne le déterminant, au signe des échanges près, et on divise le second membre par ce pivot.

Pour le même système, le premier pivot, 2, donne (0 ; −3 ; −3) en deuxième ligne. Le second pivot, −3, avec 2 comme pivot précédent, donne (−3 ; 0 ; −6) et (0 ; −3 ; −3). Donc det(A) = −3, x₁ = 2 et x₂ = 1.

Moindres carrés

Pour les cas où il y a trop d’équations pour une solution exacte, comme avec des mesures bruitées. Ils donnent le meilleur compromis, et non une solution de chaque équation.

La page multiplie A·x = b par la transposée de A, ce qui donne les équations normales Aᵀ · A · x = Aᵀ · b, toujours compatibles. Leur solution rend l’écart aussi petit que possible, et la page affiche cet écart. Si les colonnes de A sont liées, plusieurs x donnent le même écart, et la page affiche l’écriture générale.

Sur le système par défaut, qui a une solution exacte, on trouve x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = −1 et un écart de 0. Pour la droite de l’exemple 2, l’écart vaut 21/5.

Test de compatibilité

Pour savoir si un système a des solutions et combien, avec l’analyse des rangs en entier. Compatible signifie que les équations ne se contredisent pas.

La page réduit [A | b], compte les pivots, puis compare rang(A), rang(A|b) et n selon le théorème de Rouché-Capelli. Elle écrit ensuite la solution ou l’écriture générale, s’il y en a une.

Pour x + y + 2z = 3, x + y + z = 1 et 2x + 2y + 2z = 5, rang(A) = 2 et rang(A|b) = 3, car une ligne donne 0 = 3 : aucune solution. Si le dernier second membre devient 2, les deux rangs valent 2 pour n = 3 : infinité de solutions, avec x₁ = −1 − x₂, x₃ = 2 et x₂ libre.

Les noms et les notations

• Linéaire : chaque inconnue apparaît seule, à la puissance 1, sans x² ni produit x·y. Le mot vient du latin linea, la ligne, car une équation à 2 inconnues trace une droite.
• Inconnue : la valeur cherchée. L’habitude de noter les inconnues x, y et z remonte à Descartes, dans La Géométrie, publiée en 1637.
• x₁, x₂ : des inconnues numérotées, car les lettres s’épuisent vite. x₁ remplace x, x₂ remplace y, et ainsi de suite jusqu’à x₁₀.
• Coefficient : le nombre qui multiplie une inconnue. Le mot vient du latin et évoque ce qui agit avec autre chose.
• Second membre b : ce qui reste à droite du signe égal, les inconnues étant à gauche. L’équation a deux membres, un de chaque côté de ce signe.
• Matrice augmentée [A | b] : la matrice A augmentée de la colonne b. La barre marque seulement la fin des coefficients.
• Inconnue libre : une inconnue dont la colonne n’a pas de pivot. Aucune ligne ne fixe sa valeur, d’où le mot libre.
• Rang, rank(A) : le nombre de pivots. Les lignes de calcul écrivent rank(A) dans les trois langues, d’après le mot anglais.
• L₂ ← L₂ − 3·L₁ : la ligne 2 est remplacée par la ligne 2 moins 3 fois la ligne 1. Les pages en français et en arabe écrivent L, pour le mot français ligne, et la page en anglais écrit R, pour row.
• Gauss : Carl Friedrich Gauss, mathématicien allemand. La méthode est pourtant bien plus ancienne : le texte chinois Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique la décrit déjà.
• Jordan : Wilhelm Jordan, géodésien allemand, qui a utilisé cette réduction complète dans un manuel d’arpentage. Ne le confondez pas avec Camille Jordan, de la forme de Jordan utilisée pour les valeurs propres.
• Cramer : Gabriel Cramer, mathématicien de Genève, qui a publié sa règle en 1750.
• Montante et Bareiss : René Mario Montante Pardo a mis au point sa méthode au Mexique, à l’Université autonome de Nuevo León, et Erwin Bareiss a publié en 1968 un algorithme d’élimination sans fractions. Les deux reposent sur la division exacte par le pivot précédent.
• Rouché et Capelli : le Français Eugène Rouché et l’Italien Alfredo Capelli. Selon les pays, le théorème porte d’autres noms, comme Kronecker-Capelli.
• Moindres carrés : la somme des carrés des différences est la plus petite possible. Adrien-Marie Legendre a publié la méthode en 1805, puis Gauss en 1809, en disant l’utiliser depuis plus longtemps.
• Écart ‖b − A·x‖² : les doubles barres désignent la longueur d’un vecteur, et le carré donne la somme des carrés des différences.

Conseils et limites

• Le bouton Exemple recharge le système par défaut, ce qui permet de voir une grille remplie.
• Essayez deux méthodes sur le même système : les lignes intermédiaires peuvent différer, mais la réponse reste la même.
• Passez l’affichage en Décimales ou en Chiffres significatifs pour lire des valeurs arrondies : seul l’affichage change.
• Vous pouvez coller un tableau depuis un tableur, avec b en dernière colonne. La notation scientifique comme 1,2e-4 est acceptée.
• La limite est de 10 équations et 10 inconnues, en nombres réels. Les nombres complexes et les lettres comme a ou k ne sont pas acceptés : pour un paramètre, refaites le calcul pour chaque valeur choisie.

Erreurs à éviter

• Oublier le 0 d’une inconnue absente : avec 3 inconnues, x + z = 4 s’écrit 1, 0, 1 puis 4. Si vous décalez les nombres vers la gauche, vous résolvez un autre système.
• Se tromper de signe : dans −3x − y + 2z = −11, le coefficient de y est −1. Passez d’abord toutes les inconnues à gauche, en changeant le signe de ce qui traverse le signe égal.
• Mélanger l’ordre des inconnues : y + 2x = 5 s’écrit 2, 1 puis 5, car chaque colonne garde la même inconnue sur toutes les lignes.
• Prendre une réponse des moindres carrés pour une solution exacte : si l’écart n’est pas nul, certaines équations ne sont pas vérifiées.

Questions fréquentes

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