Calculateur de déterminant

À quoi sert cet outil ?

Le déterminant est un seul nombre calculé à partir d’une matrice carrée, c’est-à-dire qui a autant de lignes que de colonnes. Il indique si la matrice est inversible : elle l’est seulement s’il n’est pas nul. Il indique aussi par combien la transformation associée multiplie les aires ou les volumes. Avec −3, les volumes sont multipliés par 3 et l’orientation est inversée.

Ce calculateur propose neuf méthodes et affiche la solution détaillée de celle que vous choisissez. Si vous êtes élève ou étudiant, vous reprenez la matrice de votre exercice avec la méthode vue en cours, puis vous comparez chaque ligne à votre copie.

Si vous êtes chercheur, vous obtenez des fractions exactes, sans erreur d’arrondi, pour des tailles allant jusqu’à 10 × 10 : un 0 affiché est un vrai 0, et non un reste d’arrondi. Le calcul s’effectue dans votre navigateur. Pour résoudre le système associé, utilisez la résolution de systèmes d’équations.

Comment l’utiliser

1. Réglez la taille de la matrice avec les boutons + et −, puis remplissez les cases. Les fractions et les décimales restent exactes pendant tout le calcul.
2. Choisissez la méthode. Pour un développement ou la création de zéros, indiquez aussi le numéro de la ligne ou de la colonne : prenez celle qui contient le plus de zéros.
3. Lisez le déterminant sur le reçu et vérifiez chaque opération dans la solution détaillée. Changez de méthode pour comparer : le résultat ne change jamais.

Comment le calcul est fait

Pour une matrice 2 × 2 de lignes (a, b) et (c, d), le déterminant vaut ad − bc. Avec les lignes (3, 8) et (4, 6) : 3·6 − 8·4 = 18 − 32 = −14.

Au-delà, le développement ramène le calcul à des déterminants plus petits. Chaque case d’une ligne ou d’une colonne est multipliée par son mineur Mᵢⱼ, avec le signe du damier + − + : + quand i + j est pair, − quand i + j est impair.

Échanger deux lignes change le signe du déterminant. Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change rien. Les mêmes règles valent pour les colonnes. Une fois la matrice triangulaire, le déterminant est le produit de sa diagonale.

Exemples détaillés

Chaque méthode expliquée

Développer selon une ligne

La méthode de base, adaptée aux petites matrices et aux lignes riches en zéros.

Chaque case de la ligne est multipliée par son mineur et son signe du damier, puis on additionne.

Ligne 1 de A : 1·2 − 2·(−2) + 3·(−3) = −3. Lignes (3, 8) et (4, 6) : 3·6 − 8·4 = −14.

Développer selon une colonne

Le même principe, quand une colonne contient plus de zéros.

On fait de même sur une colonne. Le résultat ne change pas, car une matrice et sa transposée ont le même déterminant.

Colonne 1 de A : 1·2 − 4·(−4) + 7·(−3) = −3. Colonne 2 de la matrice 4 × 4 de lignes (1, 0, 2, −1), (3, 0, 0, 5), (2, 1, 4, −3) et (1, 0, 5, 0) : − 1·(−30) = 30.

Créer des zéros dans une ligne

Elle allège le calcul à la main, car il ne reste qu’un mineur.

On retire à des colonnes un multiple d’une autre, sans changer le déterminant, jusqu’à ne garder qu’une case non nulle dans la ligne. On développe ensuite selon elle.

Ligne 1 de A : C₂ ← C₂ − 2·C₁ et C₃ ← C₃ − 3·C₁, puis (−3)·(−11) − (−6)·(−6) = −3.

Créer des zéros dans une colonne

La même idée avec des opérations sur les lignes, souvent plus familières.

On retire à des lignes un multiple d’une autre, jusqu’à ne garder qu’une case non nulle dans la colonne. On développe ensuite selon elle, avec son signe.

Colonne 1 de A : L₂ ← L₂ − 4·L₁ et L₃ ← L₃ − 7·L₁, puis 1 · (−3) = −3.

Élimination de Gauss

Elle convient aux grandes matrices et sert aussi pour un système linéaire.

On annule les cases sous chaque pivot. Le déterminant est le produit de la diagonale, avec un changement de signe par échange de lignes.

A devient les lignes (1, 2, 3), (0, −3, −6) et (0, 0, 1), donc 1·(−3)·1 = −3. Avec 9 au lieu de 10, une ligne entière s’annule et le déterminant vaut 0.

Règle du triangle (3×3)

Une formule directe pour 3 × 3, présentée avec des triangles.

On additionne la diagonale principale et deux triangles, puis on soustrait l’autre diagonale et ses deux triangles.

Sur A : (1·5·10 + 2·6·7 + 3·4·8) − (3·5·7 + 1·6·8 + 2·4·10) = −3.

Règle de Sarrus (3×3)

La façon la plus visuelle de calculer un déterminant 3 × 3 à la main.

On recopie les deux premières colonnes à droite : diagonales descendantes en positif, montantes en négatif. Ce sont les six mêmes produits que dans la règle du triangle.

Sur A : 230 en descendant, 233 en montant, soit 230 − 233 = −3.

Formule de Leibniz

La définition du déterminant, utile pour les démonstrations et limitée ici à 7 × 7.

Pour chaque permutation, on multiplie une case par ligne et par colonne, avec le signe de la permutation, puis on additionne. La solution affiche au plus 24 termes.

Pour n = 3, avec 6 permutations : 50 − 48 − 80 + 84 + 96 − 105 = −3. Pour n = 2 : 18 − 32 = −14.

Méthode de Montante (Bareiss)

Elle évite les fractions intermédiaires : avec des entiers, tout reste entier.

Chaque case hors de la ligne du pivot devient (pivot × case − case de la colonne du pivot × case de la ligne du pivot) ÷ pivot précédent. Le dernier pivot donne le déterminant, au signe des échanges près.

Sur A, les pivots sont 1, −3 et −3, donc det(A) = −3.

Les noms et les notations

• Déterminant : du latin determinare, « fixer ». Gauss a employé le mot, puis Cauchy lui a donné son sens actuel.
• det(A) : le déterminant de la matrice A, aussi noté |A|. Ce n’est pas une valeur absolue : il peut être négatif.
• Mineur Mᵢⱼ : le déterminant restant après le retrait de la ligne i et de la colonne j. Du latin minor, « plus petit ».
• Cofacteur : le mineur avec son signe du damier, le facteur qui accompagne la case dans le développement.
• Pivot : la case qui sert à annuler les autres. Ce mot français désigne la pièce sur laquelle tourne un mécanisme.
• Développement de Laplace : autre nom du développement, d’après le savant français Pierre-Simon de Laplace (1749-1827).
• Sarrus : Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861), mathématicien français, professeur à Strasbourg.
• Règle du triangle : le nom décrit la forme des produits, pas une personne.
• Leibniz : Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), philosophe et mathématicien allemand.
• Permutation et sgn(σ) : σ est un nouveau rangement des nombres de 1 à n, et σ(i) la colonne choisie à la ligne i. Son signe sgn(σ), du latin signum, vaut +1 après un nombre pair d’échanges et −1 après un nombre impair.
• Montante et Bareiss : deux méthodes voisines, sans fractions intermédiaires, qui portent les noms de l’enseignant mexicain René Mario Montante Pardo et d’Erwin Bareiss, qui a publié la sienne en 1968.
• Gauss : Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien allemand. Des textes chinois anciens décrivaient déjà le principe de sa méthode.
• L₂, R₂ et C₂ : L₂ est la ligne 2 dans les cours en français et en arabe, R₂ la même ligne en anglais, et C₂ la colonne 2. L₂ ← L₂ − 4·L₁ remplace la ligne 2 par elle-même moins 4 fois la ligne 1.

Conseils et limites

• Prenez la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros : sur la matrice 4 × 4 vue plus haut, la colonne 2 ne laisse qu’un terme.
• Saisissez 1/3 plutôt que 0,33, que l’outil lit comme exactement 33/100. Pour simplifier une fraction, utilisez la calculatrice de fractions.
• Pour retrouver une erreur, reprenez la méthode et la ligne de votre copie, puis comparez les étapes. Le résultat reste indicatif : vérifiez votre saisie.
• Seuls les nombres réels sont acceptés, sans nombres complexes ni variables. Pour un polynôme caractéristique, voyez valeurs propres et vecteurs propres.
• À partir de 5 × 5, le développement donne chaque mineur sans son détail. Pour tout voir, préférez la création de zéros ou l’élimination de Gauss.

Erreurs à éviter

• Utiliser Sarrus sur une matrice 4 × 4 : l’outil le refuse, car la règle ne vaut que pour 3 × 3.
• Oublier le signe du damier : sur la ligne 1 de A, écrire + au lieu de − devant le terme de la case 2 donne 2 − 4 − 9 = −11 au lieu de −3.
• Oublier le changement de signe après un échange : échanger les lignes 1 et 2 de A donne un déterminant de 3, et non −3.
• Confondre mineur et cofacteur : dans A, le mineur M₁₂ vaut −2, mais son cofacteur vaut 2.

Questions fréquentes

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