Calculatrice de matrices

À quoi sert cet outil ?

Une matrice est un tableau de nombres rangés en lignes et en colonnes. Elle peut représenter les coefficients d’un système d’équations, une transformation géométrique ou des mesures. Une matrice 2 × 3 a 2 lignes et 3 colonnes, et une matrice est carrée quand ces deux nombres sont égaux.

Cette calculatrice effectue 17 opérations sur des matrices de nombres réels, jusqu’à 10 × 10. Si vous êtes élève ou étudiant, vous pouvez vérifier un exercice : la solution détaillée reprend chaque opération et montre à quelle étape votre calcul s’écarte du bon.

Si vous êtes chercheur, les fractions exactes vous évitent les erreurs d’arrondi, vous collez vos données au lieu de les ressaisir, et vous enchaînez les opérations en réutilisant un résultat comme matrice A. Le calcul s’exécute dans votre navigateur, sans envoyer vos nombres à un serveur, et reste exact en fractions.

Comment l’utiliser

1. Choisissez une opération, puis réglez la taille de la matrice avec les boutons + et −. Pour A + B, A × B ou une équation matricielle, une seconde grille apparaît pour la matrice B.
2. Écrivez un nombre par case : entiers, décimaux, fractions comme 3/4 ou notation scientifique comme 1,2e-4. Vous pouvez aussi coller un tableau entier depuis un tableur, MATLAB ou Python.
3. Lisez le résultat sur le reçu, puis suivez la solution ligne par ligne juste en dessous. Passez l’affichage en décimales si besoin, et réutilisez le résultat comme matrice A pour enchaîner une autre opération.

Comment le calcul est fait

La première ligne est la règle du produit : la case (i, j) de A × B s’obtient en multipliant la ligne i de A par la colonne j de B, nombre par nombre, puis en additionnant les produits.

La plupart des autres calculs reposent sur trois opérations sur les lignes : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, ajouter à une ligne un multiple d’une autre, comme dans la troisième ligne de la formule. Elles ne changent ni le rang ni les solutions du système associé.

Pour l’inverse, on écrit A à côté de la matrice identité, soit [A | I], puis on applique Gauss-Jordan : chaque pivot est ramené à 1 et le reste de sa colonne à 0. Quand la partie gauche est devenue I, la partie droite est A⁻¹, car les mêmes opérations ont changé A en I et I en A⁻¹.

Les fractions restent exactes parce que la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux fractions est encore une fraction. La dernière ligne de la formule le montre pour la somme, et vous pouvez vous exercer avec la calculatrice de fractions. Un décimal est converti dès la saisie : 0,1 devient 1/10. Deux exceptions : Cholesky prend des racines carrées, gardées sous forme exacte comme √2, et la diagonalisation calcule les vecteurs propres numériquement, avec le signe ≈, quand une valeur propre n’est pas une fraction.

Exemples détaillés

Chaque opération expliquée

Déterminant

Ce nombre unique indique si une matrice carrée est inversible : elle l’est seulement s’il n’est pas nul. Calculez-le avant un inverse, ou pour savoir si un système carré a une solution unique.

L’outil échelonne la matrice, puis multiplie les nombres de la diagonale, avec un changement de signe par échange de lignes. Pour une autre méthode, comme Sarrus, ouvrez le calculateur de déterminant.

Pour les lignes (2 1) et (1 3), L₂ ← L₂ − (1/2)·L₁ donne (2 1) et (0 5/2), donc det(A) = 2 · (5/2) = 5.

Matrice inverse

A⁻¹ annule l’effet de A : A × A⁻¹ donne la matrice identité. Elle sert à isoler une matrice dans une équation, puisqu’on ne divise pas par une matrice.

L’outil applique Gauss-Jordan à [A | I], comme dans le premier exemple. S’il manque un pivot, le résultat est Non inversible.

Pour les lignes (1 2) et (2 4), L₂ ← L₂ − 2·L₁ laisse une ligne de zéros à gauche : le rang vaut 1 au lieu de 2, det(A) = 0 et il n’y a pas d’inverse.

Transposée

Aᵀ échange les lignes et les colonnes. Elle intervient dans les moindres carrés et permet de reconnaître une matrice symétrique, égale à sa transposée. Toutes les tailles sont acceptées.

La ligne 1 devient la colonne 1, la ligne 2 la colonne 2, et ainsi de suite : la case (i, j) passe en (j, i). Les valeurs ne changent pas.

Les lignes (1 2 3) et (4 5 6) forment une matrice 2 × 3. Sa transposée, de taille 3 × 2, a pour lignes (1 4), (2 5) et (3 6).

Rang

Le rang compte les lignes réellement indépendantes. Il révèle des données redondantes et, avec le test de compatibilité de la résolution de systèmes d’équations, il dit si un système a des solutions.

L’outil échelonne la matrice et compte les lignes non nulles, c’est-à-dire les pivots. Le rang ne dépasse jamais le nombre de lignes ni le nombre de colonnes.

Pour (1 2 3), (4 5 6), (7 8 9), L₂ ← L₂ − 4·L₁, L₃ ← L₃ − 7·L₁ puis L₃ ← L₃ − 2·L₂ donnent (1 2 3), (0 −3 −6), (0 0 0). Le rang vaut 2.

Multiplier par un nombre

Cette opération met toute une matrice à l’échelle, par exemple pour convertir des mesures dans une autre unité ou préparer une combinaison comme 2A − B.

Chaque case est multipliée par le nombre k, qui peut être entier, décimal ou fractionnaire. La taille de la matrice ne change pas.

Avec k = 3, les lignes (1 2) et (3 4) deviennent (3 6) et (9 12).

Puissance

Aⁿ est le produit de n exemplaires d’une matrice carrée A. Elle sert pour les chaînes de Markov, les suites récurrentes et le comptage de chemins dans un graphe.

L’outil élève au carré à répétition (A², puis A⁴), puis multiplie les puissances utiles, ce qui réduit le nombre de produits. L’exposant va de −64 à 64 : négatif, il utilise l’inverse, et 0 donne la matrice identité.

Pour les lignes (1 1) et (1 0) et n = 5 : A² donne (2 1) et (1 1), A⁴ donne (5 3) et (3 2), et A⁵ = A · A⁴ donne (8 5) et (5 3), des nombres de Fibonacci.

Forme échelonnée

Cette forme en escalier est le résultat de la méthode de Gauss. Elle permet de lire le rang et de résoudre un système en remontant de la dernière équation à la première.

Colonne après colonne, l’outil prend la première case non nulle comme pivot, échange les lignes si besoin et annule les cases situées dessous. Les pivots ne sont pas ramenés à 1.

(1 2 3), (4 5 6), (7 8 10) devient (1 2 3), (0 −3 −6), (0 0 1), avec 3 pivots.

Forme échelonnée réduite

Elle va plus loin : chaque pivot vaut 1 et reste seul dans sa colonne. On y lit directement les solutions d’un système et les inconnues libres.

L’outil applique Gauss-Jordan : il divise chaque ligne par son pivot, puis annule les autres cases de la colonne, au-dessus comme en dessous.

(1 2 3), (4 5 6), (7 8 9) devient (1 0 −1), (0 1 2), (0 0 0), avec 2 pivots.

Diagonalisation

Elle écrit une matrice carrée sous la forme A = P · D · P⁻¹, avec D diagonale, ce qui simplifie les puissances. Elle va jusqu’à 8 × 8. Pour la forme de Jordan et la SVD, ouvrez valeurs propres et vecteurs propres.

L’outil calcule le polynôme caractéristique det(λI − A), dont les racines sont les valeurs propres, puis résout (A − λI)·v = 0 pour chacune. Les vecteurs propres forment les colonnes de P. S’il en manque, le résultat est Non diagonalisable.

Pour les lignes (2 1) et (1 2) : p(λ) = λ² − 4λ + 3 = (λ − 3)(λ − 1). Les valeurs propres 3 et 1 ont pour vecteurs (1 1) et (−1 1). D : (3 0) et (0 1). P : (1 −1) et (1 1). P⁻¹ : (1/2 1/2) et (−1/2 1/2).

Décomposition LU

Elle écrit A comme le produit d’une matrice triangulaire inférieure L et d’une matrice triangulaire supérieure U. Elle est utile pour résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice A, car L et U resservent à chaque second membre.

L’élimination de Gauss donne U, et chaque multiplicateur utilisé va dans L, qui a des 1 sur sa diagonale. Les lignes ne sont échangées que si un pivot est nul : le résultat s’écrit alors P · A = L · U.

Pour les lignes (4 3) et (6 3), L₂ ← L₂ − (3/2)·L₁ donne l₂₁ = 3/2. L : (1 0) et (3/2 1). U : (4 3) et (0 −3/2).

Décomposition de Cholesky

Réservée aux matrices symétriques définies positives, elle écrit A = L · Lᵀ, avec L triangulaire inférieure. On la rencontre en statistique, avec les matrices de covariance, et en optimisation.

L’outil vérifie que A est égale à sa transposée, puis calcule L ligne par ligne, avec des fractions exactes et des racines carrées. Si un pivot n’est pas strictement positif, il s’arrête et affiche Non définie positive.

Pour (4 12 −16), (12 37 −43), (−16 −43 98), L a pour lignes (2 0 0), (6 1 0), (−8 5 3). Vérification : 6·6 + 1·1 = 37.

A + B

L’addition cumule deux tableaux de même taille, par exemple deux séries de mesures ou les résultats de deux périodes.

Chaque case du résultat est la somme des deux cases de même position. L’ordre ne compte pas : A + B et B + A sont égales.

Avec A de lignes (1 2) et (3 4), B de lignes (5 6) et (7 8) : 1 + 5 = 6, 2 + 6 = 8, 3 + 7 = 10, 4 + 8 = 12. A + B a pour lignes (6 8) et (10 12).

A − B

La soustraction mesure l’écart entre deux matrices de même taille, par exemple entre votre résultat et celui d’un corrigé, ou entre deux jeux de données.

Chaque case de B est retirée de la case de A à la même position. Ici l’ordre compte : B − A donne les valeurs opposées.

Avec les mêmes A et B, 1 − 5, 2 − 6, 3 − 7 et 4 − 8 valent tous −4. A − B a pour lignes (−4 −4) et (−4 −4).

A × B

Le produit enchaîne deux transformations, ou applique des coefficients à des données, par exemple des prix à des quantités. Il sert aussi à vérifier un inverse, puisque A × A⁻¹ doit donner l’identité.

Chaque case est le produit d’une ligne de A par une colonne de B : on multiplie les nombres deux à deux, puis on additionne. Le deuxième exemple détaille les quatre cases.

Avec les mêmes A et B, la première case vaut 1·5 + 2·7 = 19, et A × B a pour lignes (19 22) et (43 50).

Résoudre A·X = B

Cette opération cherche la matrice inconnue X telle que A·X = B, ce qui revient à résoudre un système par colonne de B. Pour un seul second membre et un choix de méthode, préférez la résolution de systèmes d’équations.

L’outil réduit [A | B] par Gauss-Jordan, et la partie droite donne X. Une ligne 0 = valeur non nulle signifie qu’aucune matrice X ne convient. Un rang inférieur au nombre de colonnes de A donne une infinité de matrices X.

Avec les mêmes A et B, (1 2 | 5 6) et (3 4 | 7 8) deviennent (1 0 | −3 −4) et (0 1 | 4 5). X a pour lignes (−3 −4) et (4 5).

Résoudre Y + A = B

Cette opération cherche la matrice Y à ajouter à A pour obtenir B. C’est l’équation matricielle la plus simple, et elle demande deux matrices de même taille.

On isole Y en soustrayant A des deux côtés, comme avec des nombres : Y = B − A, case par case. La solution existe toujours et elle est unique.

Avec les mêmes A et B, 5 − 1, 6 − 2, 7 − 3 et 8 − 4 valent tous 4. Y a pour lignes (4 4) et (4 4).

Expression libre (A, B, C…)

Pour calculer avec autant de matrices que nécessaire, jusqu’à 8, et dans l’ordre voulu : B × A, A + B + C + D, (A + B) × C ou 2A − B. Chaque lettre de l’expression fait apparaître sa propre grille, en majuscule comme en minuscule.

Les priorités habituelles s’appliquent : parenthèses, puissances et transposées, produits, puis sommes, de gauche à droite. Chaque opération intermédiaire est affichée avec sa matrice. Les signes acceptés sont + − * / et ^. Écrivez A^-1 pour l’inverse et A^T ou A' pour la transposée. On ne divise que par un nombre : pour diviser par B, écrivez A*B^-1.

Avec A de lignes (1 2) et (3 4), et B de lignes (5 6) et (7 8) : B*A donne les lignes (23 34) et (31 46), A*B donne (19 22) et (43 50), et A+B donne (6 8) et (10 12).

Les noms et les notations

• Matrice : du latin matrix, lié à mater (la mère), au sens de ce qui donne naissance à autre chose. James Joseph Sylvester a introduit le mot en mathématiques au XIXe siècle. L’arabe مصفوفة vient de صف, la rangée.
• A⁻¹ : se lit « A inverse ». A⁻¹ joue pour A le rôle que 1/2 joue pour 2. Ce n’est pas la matrice des inverses de chaque case.
• Aᵀ : le T vient de transposée. Certains manuels francophones écrivent ᵗA pour la même matrice.
• det(A) : abréviation de déterminant, un nombre qui détermine si A est inversible. On écrit aussi |A|, même si le résultat peut être négatif.
• Rang : la calculatrice affiche rank(A), et les cours francophones écrivent souvent rg(A). C’est le nombre de pivots.
• Pivot : case non nulle qui sert à annuler les autres cases de sa colonne. Le calcul tourne autour d’elle comme autour d’un axe, sens du mot arabe محور.
• L et U : initiales des mots anglais Lower (inférieure) et Upper (supérieure), car L n’a de valeurs que sur et sous la diagonale, U que sur et au-dessus.
• Gauss : Carl Friedrich Gauss, mathématicien allemand. L’élimination qui porte son nom est bien plus ancienne : elle figure déjà dans l’ouvrage chinois Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique.
• Jordan : dans Gauss-Jordan, c’est Wilhelm Jordan, géodésien allemand, à ne pas confondre avec Camille Jordan, mathématicien français qui a donné son nom à la forme de Jordan.
• Cholesky : André-Louis Cholesky, officier et géodésien français, a conçu cette méthode pour des calculs de topographie. Elle a été publiée après sa mort, survenue pendant la Première Guerre mondiale.
• L₂ ← L₂ − 3·L₁ : « la ligne 2 devient la ligne 2 moins 3 fois la ligne 1 ». L vient de ligne, notation des classes francophones et arabophones, et l’anglais écrit R₂ ← R₂ − 3·R₁, avec R pour row. Ce L₂ n’a aucun rapport avec la matrice L de LU.
• I : matrice identité, avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. A × I = A, comme x × 1 = x pour les nombres.
• Échelonnée : les pivots descendent en escalier, comme les échelons d’une échelle. Le mot anglais echelon vient du français, et l’arabe درجية vient de درجة, la marche.

Conseils et limites

• Vérifiez un inverse : après le calcul, cliquez sur Utiliser comme A, choisissez A × B et écrivez la matrice d’origine dans B. Vous devez obtenir exactement la matrice identité.
• Saisissez les valeurs exactes : 1/3 plutôt que 0,33, que l’outil lit comme 33/100. Un décimal périodique s’écrit 1,3(56).
• Une fraction très longue s’affiche arrondie avec le signe ≈, mais Copier le résultat garde la fraction exacte quand le résultat est une seule matrice. Une racine comme √2 est copiée en décimales.
• Limites : jusqu’à 10 × 10, 8 × 8 pour la diagonalisation, et des nombres réels uniquement, sans nombres complexes ni variables comme x.
• Les résultats sont indicatifs : pour un devoir ou une publication, suivez la méthode demandée et gardez une vérification indépendante.

Erreurs à éviter

• Multiplier case par case : pour les A et B de l’exemple, cela donnerait 5, 12, 21 et 32 au lieu de (19 22) et (43 50).
• Inverser chaque case : l’inverse de la matrice de lignes (2 1) et (1 3) n’a pas pour cases 1/2, 1, 1 et 1/3, mais 3/5, −1/5, −1/5 et 2/5.
• Oublier le signe : chaque échange de lignes change le signe du déterminant, et multiplier une ligne par k multiplie le déterminant par k.
• Garder le même ordre : l’inverse de A × B est B⁻¹ × A⁻¹, et la transposée de A × B est Bᵀ × Aᵀ.

Questions fréquentes

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