Valeurs propres et vecteurs propres

À quoi sert cet outil ?

Un vecteur propre d’une matrice carrée est une direction que la matrice ne fait pas tourner : elle se contente de l’étirer, de la raccourcir ou de l’inverser. La valeur propre indique de combien. Si A·v = 3·v, le vecteur v garde sa direction et toute longueur mesurée le long de celle-ci est multipliée par 3. La plupart des vecteurs changent de direction lorsqu’on les multiplie par une matrice. Les vecteurs propres font exception, et c’est pour cela qu’ils révèlent ce que fait vraiment cette matrice.

Ces nombres servent dans beaucoup de domaines. En ingénierie, ils donnent les fréquences propres d’une structure qui vibre et permettent de savoir si un système est stable. Les classements de pages web à la manière de Google s’appuient sur un vecteur propre d’une matrice de liens. L’analyse en composantes principales en tire les directions principales d’un jeu de données. En mécanique quantique, les résultats possibles d’une mesure sont des valeurs propres.

Cette calculatrice trouve les valeurs et vecteurs propres d’une matrice réelle jusqu’à 8 × 8, puis va plus loin avec la diagonalisation, la forme de Jordan, l’exponentielle de matrice et la décomposition en valeurs singulières. Si vous êtes étudiant, vous suivez chaque étape, du polynôme caractéristique jusqu’aux vecteurs, et vous la comparez à votre copie. Si vous êtes chercheur, vous obtenez des valeurs exactes lorsque c’est possible, des multiplicités exactes, ainsi que la SVD et l’exponentielle pour contrôler un petit cas ou votre propre code. Le calcul s’effectue dans votre navigateur. Les résultats restent indicatifs : pour un travail publié, confirmez-les par une seconde méthode.

Comment l’utiliser

1. Réglez la taille de la matrice et remplissez les cases. Les valeurs propres demandent une matrice carrée ; seule la SVD accepte une matrice rectangulaire.
2. Choisissez ce que vous cherchez : valeurs et vecteurs propres, diagonalisation, forme de Jordan, exponentielle ou décomposition en valeurs singulières.
3. Lisez le résultat sur le reçu. Les valeurs sont exactes dès que possible, comme (1 + √5)/2, et le signe ≈ signale une valeur numérique arrondie.

Comment le calcul est fait

Tout part de l’équation A·v = λ·v, qui s’écrit aussi (A − λI)·v = 0, où I est la matrice identité. Un vecteur v non nul ne peut la vérifier que si A − λI n’est pas inversible, c’est-à-dire si son déterminant est nul. D’où le polynôme caractéristique p(λ) = det(λI − A). Pour une matrice n × n, il est de degré n, et ses racines sont exactement les valeurs propres.

La calculatrice obtient ce polynôme en fractions exactes, puis le factorise, ce qui donne la multiplicité exacte de chaque racine. Pour chaque valeur propre, elle résout ensuite (A − λI)·v = 0 par élimination, comme pour un système linéaire. Les solutions sont les vecteurs propres, et le nombre de solutions indépendantes est la dimension affichée sur la page.

Une valeur propre est exacte lorsqu’elle est une fraction, comme 3 ou 1/2, ou lorsqu’elle vient d’un facteur de degré 2, comme (1 + √5)/2 ou i. Si, une fois les fractions retirées, il reste un facteur de degré 3 ou plus, ses racines sont calculées numériquement et marquées ≈. Les vecteurs propres ne sont exacts que pour les valeurs propres qui sont des fractions : pour (1 + √5)/2, la valeur est exacte mais le vecteur est numérique.

L’exponentielle est toujours numérique, de même que les vecteurs de la SVD. Les valeurs singulières restent exactes lorsque c’est possible, comme √5.

Exemples détaillés

Chaque calcul expliqué

Valeurs et vecteurs propres

C’est le calcul à lancer en premier pour comprendre une matrice. Il donne le polynôme caractéristique, chaque valeur propre avec sa multiplicité et sa dimension, les vecteurs propres, et indique si la matrice est diagonalisable.

Le polynôme est calculé en fractions exactes, puis factorisé. Les fractions et les facteurs de degré 2 donnent des racines exactes, les autres sont numériques. Chaque valeur propre conduit ensuite au système (A − λI)·v = 0.

[(2, 0, 0) ; (0, 3, 4) ; (0, 4, 9)] donne λ³ − 14λ² + 35λ − 22 = (λ − 11)(λ − 2)(λ − 1), avec les vecteurs (0, 1, 2), (1, 0, 0) et (0, −2, 1). [(1, 1) ; (1, 0)] donne λ² − λ − 1 et les valeurs exactes (1 ± √5)/2. [(0, −1) ; (1, 0)] donne λ² + 1 et les valeurs complexes ± i.

Diagonalisation

Utilisez-la pour écrire A = P·D·P⁻¹. Une matrice diagonale rend les puissances simples, puisque Aᵏ = P·Dᵏ·P⁻¹, et sépare les équations d’un système différentiel linéaire.

La calculatrice vérifie de façon exacte que chaque valeur propre a autant de vecteurs indépendants que sa multiplicité. Si c’est le cas, les vecteurs propres deviennent les colonnes de P et les valeurs propres la diagonale de D, dans le même ordre. Elle calcule ensuite P⁻¹.

Pour [(2, 0, 0) ; (0, 3, 4) ; (0, 4, 9)], D porte 11, 2 et 1 sur sa diagonale, et les colonnes de P sont (0, 1, 2), (1, 0, 0) et (0, −2, 1). La rotation [(0, −1) ; (1, 0)] n’est diagonalisable que dans les complexes.

Forme de Jordan

Utilisez-la lorsqu’une matrice n’est pas diagonalisable. Elle écrit A = P·J·P⁻¹, où J n’a de valeurs non nulles que sur sa diagonale et juste au-dessus. Si la matrice est diagonalisable, J est simplement D.

Pour chaque valeur propre, la calculatrice mesure la dimension du noyau de (A − λI), puis de (A − λI)², et ainsi de suite jusqu’à atteindre la multiplicité. La progression de ces dimensions fixe le nombre et la taille des blocs. Des chaînes de vecteurs forment ensuite les colonnes de P.

[(3, 1, 0) ; (0, 3, 0) ; (0, 0, 5)] donne p(λ) = (λ − 5)(λ − 3)². Pour λ = 3, les dimensions sont 1 puis 2, donc un bloc de taille 2 × 2. Avec le bloc 1 × 1 de λ = 5, on obtient J = [(5, 0, 0) ; (0, 3, 1) ; (0, 0, 3)].

Exponentielle de matrice

Elle sert surtout aux systèmes différentiels linéaires : la solution de x′ = A·x est x(t) = e^(tA)·x(0). Pour une valeur de t donnée, multipliez d’abord A par t, puis calculez l’exponentielle.

La définition est la série e^A = I + A + A²/2! + A³/3! + …. En pratique, la calculatrice divise A par 2 à la puissance s, applique une approximation de Padé, puis élève le résultat au carré s fois, s étant choisi d’après ‖A‖₁. Le résultat est toujours numérique et arrondi à l’affichage.

Pour [(0, 1) ; (−1, 0)], e^A = [(cos 1, sin 1) ; (−sin 1, cos 1)], soit une rotation de 1 radian, avec cos 1 ≈ 0,540302 et sin 1 ≈ 0,841471. Vous pouvez vérifier ces deux nombres avec la calculatrice scientifique, en radians.

Valeurs singulières (SVD)

Elle s’applique à toute matrice, même rectangulaire, et écrit A = U·Σ·Vᵀ. Elle donne le rang et les directions principales d’un tableau de données. C’est l’outil habituel derrière l’analyse en composantes principales, les moindres carrés et la compression de données.

La calculatrice forme la matrice symétrique A·Aᵀ, ou Aᵀ·A si A a plus de lignes que de colonnes. Les valeurs singulières sont les racines carrées de ses valeurs propres, classées par ordre décroissant. Des rotations de Jacobi rendent ensuite les colonnes orthogonales et donnent U et V.

Pour [(3, 0) ; (0, 4)], A·Aᵀ = [(9, 0) ; (0, 16)] et p(λ) = λ² − 25λ + 144, donc les valeurs singulières sont 4 et 3. La matrice 4 × 5 [(1, 0, 0, 0, 2) ; (0, 0, 3, 0, 0) ; (0, 0, 0, 0, 0) ; (0, 2, 0, 0, 0)] a pour valeurs singulières 3, √5, 2 et 0, donc un rang de 3.

Les noms et les notations

• Eigen : mot allemand qui signifie « propre », au sens de « qui appartient à ». Un vecteur propre appartient en quelque sorte à la matrice elle-même. L’anglais a gardé le mot allemand, le français le traduit par « propre » et l’arabe dit « ذاتية », « de soi-même ». David Hilbert a employé ce terme allemand au début du XXe siècle.
• λ : la lettre grecque lambda, symbole habituel d’une valeur propre. L’indice de λ₁ ou λ₂ ne fait que les numéroter.
• v : le vecteur propre, d’après l’initiale de « vecteur ». La définition exige v ≠ 0.
• λI : la matrice identité I multipliée par λ, soit λ sur la diagonale et 0 ailleurs.
• Polynôme caractéristique, p(λ) : « caractéristique » parce qu’il porte les valeurs propres de la matrice et ne change pas quand on change de base.
• Multiplicité algébrique : le nombre de fois où une valeur propre est racine de p(λ). La page dit simplement « multiplicité » et écrit m dans les étapes.
• Multiplicité géométrique : le nombre de vecteurs propres indépendants pour une valeur propre. La page l’appelle « dimension ». Elle vaut au moins 1 et au plus la multiplicité algébrique.
• P et D : D est la matrice diagonale des valeurs propres, d’où sa lettre. Les colonnes de P sont les vecteurs propres : c’est la matrice de changement de base.
• Forme de Jordan, J : du nom de Camille Jordan, mathématicien français du XIXe siècle. Un bloc de Jordan porte une seule valeur propre sur sa diagonale et des 1 juste au-dessus. Ne le confondez pas avec Wilhelm Jordan, géodésien allemand, qui est le Jordan de la méthode Gauss-Jordan.
• ker : abréviation du mot anglais « kernel », le noyau, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs qu’une matrice envoie sur 0. Les étapes affichent dim ker(A − λI)², la dimension du noyau de (A − λI)².
• e^A : l’exponentielle de la matrice A, qui se lit « e puissance A ». Le nombre e est le nombre d’Euler, environ 2,718282, et la série de l’exponentielle ordinaire s’étend ainsi aux matrices.
• Approximation de Padé : du nom d’Henri Padé, mathématicien français qui a étudié ces approximations d’une fonction par une fraction de deux polynômes.
• Valeur singulière, σ : la lettre grecque sigma, à ne pas confondre avec le σ de l’écart type. σ₁ est la plus grande : c’est le plus fort étirement que la matrice applique à un vecteur de longueur 1.
• U, Σ et Vᵀ : Σ, sigma majuscule, a la taille de A et porte les valeurs σ sur sa diagonale. U et V sont des matrices orthogonales, et leurs colonnes sont les vecteurs singuliers. Le T signifie « transposée » : les lignes de Vᵀ sont les colonnes de V.
• SVD : initiales de l’anglais « singular value decomposition », employées aussi en français et en arabe.
• Rotations de Jacobi : du nom de Carl Gustav Jacob Jacobi, mathématicien allemand du XIXe siècle, qui a utilisé des rotations dans un plan pour calculer les valeurs propres des matrices symétriques.

Conseils et limites

• Contrôle rapide : la somme des valeurs propres, comptées avec leur multiplicité, égale la trace (la somme de la diagonale), et leur produit égale le déterminant. Pour [(2, 1) ; (1, 2)] : 3 + 1 = 2 + 2 et 3 × 1 = 3.
• Pour vérifier un vecteur propre, calculez A × v avec la calculatrice de matrices, puis comparez le résultat à λ·v.
• Écrivez des fractions plutôt que des décimales arrondies : 1/3 et non 0,333. Une valeur propre répétée est fragile : remplacez le dernier 1 de [(1, 1) ; (0, 1)] par 1,001 et vous obtenez deux valeurs différentes, 1 et 1,001, avec une matrice devenue diagonalisable.
• Limites : cases réelles uniquement, jusqu’à 8 × 8 et 24 caractères par case. Les valeurs propres complexes s’affichent dans les résultats, mais vous ne pouvez saisir ni nombre complexe ni variable.
• Le champ Affichage passe des Valeurs exactes aux Décimales ou aux Chiffres significatifs, jusqu’à 15 chiffres. Seul l’affichage change, pas le calcul.
• Pour une analyse en composantes principales, retirez d’abord de chaque colonne sa moyenne, puis lancez la SVD : la calculatrice ne centre pas les données à votre place, et elle se limite aux petits tableaux, jusqu’à 8 × 8.

Erreurs à éviter

• Confondre les deux multiplicités. Dans [(1, 1) ; (0, 1)], λ = 1 a une multiplicité 2 mais une dimension 1 : seule la dimension compte les vecteurs indépendants.
• Attendre un seul vecteur exact lorsque la dimension dépasse 1. Pour la matrice identité 3 × 3, λ = 1 a une dimension 3 : tout vecteur non nul convient, et la calculatrice n’affiche qu’une base parmi d’autres.
• Comparer les vecteurs de la SVD signe par signe avec un autre logiciel. Une colonne de U et la colonne associée de V peuvent changer de signe ensemble sans changer A. Comparez plutôt les valeurs singulières, ou vérifiez que U·Σ·Vᵀ redonne A.
• Prendre les valeurs singulières pour des valeurs propres. La rotation [(0, −1) ; (1, 0)] a pour valeurs propres i et −i, alors que ses deux valeurs singulières valent 1.
• Croire à une erreur parce que le polynôme a le signe opposé à celui de votre livre. Certains cours utilisent det(A − λI) : pour n impair, c’est l’opposé de det(λI − A), avec les mêmes racines.

Questions fréquentes

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