Théorème de Thalès

À quoi sert cet outil ?

Ce calculateur applique le théorème de Thalès à la figure classique : un triangle ABC, un point M sur la droite (AB), un point N sur la droite (AC) et une droite (MN) parallèle à (BC). Choisissez la longueur cherchée parmi AM, AB, AN, AC, MN et BC, saisissez celles que vous connaissez, et le résultat est donné par produit en croix.

Le second mode utilise la réciproque de Thalès : à partir de AM, AB, AN et AC, il compare les deux rapports et vous dit si (MN) et (BC) sont parallèles. Les deux modes fonctionnent pour la figure en triangle et pour la configuration papillon, où les deux triangles se rejoignent en A comme un X.

Chaque résultat est accompagné de la rédaction attendue dans un exercice de collège : le théorème, l’égalité des rapports avec les nombres, le produit en croix et la conclusion. Si la figure est un triangle rectangle, le calculateur du théorème de Pythagore donne les côtés manquants.

Comment l’utiliser

1. Choisissez « Calculer une longueur » ou « Réciproque », puis la figure : triangle ou papillon.
2. Indiquez la longueur cherchée et saisissez les longueurs connues, dans la même unité.
3. Lisez le résultat et la solution détaillée : égalité des rapports, produit en croix et conclusion.

Le calculateur a besoin de la longueur associée à l’inconnue et d’une paire complète. Pour trouver AN, par exemple, saisissez AC et soit AM et AB, soit MN et BC. Si vous remplissez les deux paires, leurs rapports doivent être égaux. Les longueurs peuvent être des décimaux avec une virgule ou un point, ou des fractions comme 3/4.

Méthode de calcul

Les trois rapports sont égaux parce que le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC. Chaque rapport place un côté du petit triangle au-dessus du côté correspondant du grand : AM sur AB, AN sur AC, MN sur BC.

Pour trouver une longueur, on écrit l’égalité entre le rapport qui la contient et un rapport connu, puis on fait le produit en croix. Avec AN/AC = AM/AB, on obtient AN × AB = AC × AM, donc AN = AC × AM ÷ AB. Le calculateur garde les fractions exactes : 10/3 reste 10/3 et s’affiche aussi environ 3,3333.

Pour la réciproque, les rapports AM/AB et AN/AC sont calculés séparément puis comparés exactement. Les produits en croix AM × AC et AN × AB donnent la même réponse sans division, ce qui est une bonne vérification.

Exemple détaillé

Comprendre les résultats

Le rapport k

La valeur commune des trois rapports est le coefficient de réduction entre les deux triangles. Avec k = 0,4, chaque côté de AMN mesure 0,4 fois le côté correspondant de ABC, et son aire vaut k² = 0,16 fois celle de ABC.

Triangle ou papillon

Dans la figure en triangle, M est entre A et B, donc AM est toujours plus petit que AB, et le calculateur le vérifie. Dans la configuration papillon, M et N sont de l’autre côté de A et k peut être n’importe quel nombre positif, même plus grand que 1.

Pourquoi l’ordre des points compte

La réciproque exige que A, M, B et A, N, C soient dans le même ordre. Des rapports égaux avec M sur [AB] mais N au-delà de A décriraient une autre figure, où (MN) n’est pas parallèle à (BC). C’est pourquoi on choisit la figure avant de vérifier.

Mesurer une hauteur avec une ombre

Thalès aurait mesuré une pyramide de cette façon. Un bâton de 1,5 m projette une ombre de 2 m ; au même moment, un arbre projette une ombre de 12 m. Les rayons du soleil sont parallèles, donc l’arbre mesure 12 × 1,5 ÷ 2 = 9 m.

Conseils et limites

• Écrivez toujours les trois rapports dans le même ordre : petit triangle en haut, grand triangle en bas.
• N’utilisez que les deux rapports utiles : celui qui contient l’inconnue et un rapport entièrement connu.
• Dans la figure en triangle, vérifiez que votre réponse est plus petite que sa longueur associée : AN doit être plus petit que AC.
• Une longueur manquante, c’est une règle de trois déguisée : le produit en croix est le même.

Erreurs à éviter

• Mélanger les rapports, par exemple AM/AB = AC/AN : le petit triangle doit toujours être du même côté.
• Utiliser MB au lieu de AB : le rapport demande des côtés entiers mesurés depuis A.
• Appliquer le théorème sans droites parallèles, ou la réciproque sans vérifier l’ordre des points.
• Conclure au parallélisme avec des rapports seulement proches parce que les longueurs ont été arrondies.

Questions fréquentes

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