حاسبة المحددات

ما فائدة هذه الأداة؟

المحدد عدد واحد يُحسب من مصفوفة مربعة، أي مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها. وهو يبين هل المصفوفة قابلة للعكس: فهي كذلك فقط إذا كان محددها غير منعدم. ويبين أيضًا العدد الذي يضرب به التحويل المرتبط بها المساحات أو الأحجام. فمع −3 تُضرب الأحجام في 3 وينعكس التوجيه.

تقترح هذه الحاسبة تسع طرق، وتعرض الحل المفصل للطريقة التي تختارها. فإذا كنت تلميذًا أو طالبًا، يمكنك إدخال مصفوفة تمرينك واختيار الطريقة التي درستها، ثم مقارنة كل سطر بما كتبته في ورقتك.

وإذا كنت باحثًا، تحصل على كسور دقيقة دون أي خطأ تقريب، في أحجام تصل إلى 10 × 10، فالصفر الظاهر صفر حقيقي وليس بقايا تقريب. ويتم الحساب داخل متصفحك. ولحل النظام المرتبط بالمصفوفة، استخدم حل نظام معادلات خطية.

طريقة الاستخدام

1. حدد حجم المصفوفة بالزرين + و−، ثم املأ الخانات. تبقى الكسور والأعداد العشرية دقيقة طوال الحساب.
2. اختر الطريقة. وعند النشر أو إنشاء الأصفار، حدد أيضًا رقم الصف أو العمود، ويفضل اختيار الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار.
3. اقرأ المحدد في الإيصال وتحقق من كل عملية في الحل المفصل. غيّر الطريقة للمقارنة، فالنتيجة لا تتغير أبدًا.

كيف يتم الحساب

في مصفوفة 2 × 2 صفاها (a، b) و(c، d)، يساوي المحدد ad − bc. فإذا كان الصفان (3، 8) و(4، 6) نحصل على 3 × 6 − 8 × 4 = 18 − 32 = −14.

وفي الأحجام الأكبر، يُرجع النشر الحساب إلى محددات أصغر. فتُضرب كل خانة من صف أو عمود في محيددها Mᵢⱼ، بإشارة يحددها نمط الرقعة + − +: الإشارة + عندما يكون i + j زوجيًا، و− عندما يكون i + j فرديًا.

وتبديل صفين يغير إشارة المحدد، أما إضافة مضاعف صف إلى صف آخر فلا تغير شيئًا. وتنطبق القواعد نفسها على الأعمدة. وعندما تصبح المصفوفة مثلثية، يكون المحدد جداء قطرها.

أمثلة مفصلة

شرح كل طريقة

النشر على صف

الطريقة الأساسية، وهي تناسب المصفوفات الصغيرة والصفوف الغنية بالأصفار.

تُضرب كل خانة من الصف في محيددها وإشارتها في نمط الرقعة، ثم تُجمع النتائج.

الصف 1 من A: 1 × 2 − 2 × (−2) + 3 × (−3) = −3. والصفان (3، 8) و(4، 6): 3 × 6 − 8 × 4 = −14.

النشر على عمود

المبدأ نفسه، عندما يحتوي عمود على أصفار أكثر.

العملية نفسها على عمود. ولا تتغير النتيجة، لأن للمصفوفة ومنقولها المحدد نفسه.

العمود 1 من A: 1 × 2 − 4 × (−4) + 7 × (−3) = −3. والعمود 2 من المصفوفة 4 × 4 التي صفوفها (1، 0، 2، −1) و(3، 0، 0، 5) و(2، 1، 4، −3) و(1، 0، 5، 0): (−1) × (−30) = 30.

إنشاء أصفار في صف

تخفف هذه الطريقة الحساب اليدوي، إذ لا يبقى سوى محيدد واحد.

نطرح من الأعمدة مضاعفًا لعمود آخر دون تغيير المحدد، حتى لا تبقى في الصف سوى خانة واحدة غير منعدمة، ثم ننشر وفقها.

الصف 1 من A: C₂ ← C₂ − 2·C₁ وC₃ ← C₃ − 3·C₁، ثم (−3) × (−11) − (−6) × (−6) = −3.

إنشاء أصفار في عمود

الفكرة نفسها بعمليات على الصفوف، وهي غالبًا الأكثر ألفة.

نطرح من الصفوف مضاعفًا لصف آخر، حتى لا تبقى في العمود سوى خانة واحدة غير منعدمة، ثم ننشر وفقها بإشارتها.

العمود 1 من A: L₂ ← L₂ − 4·L₁ وL₃ ← L₃ − 7·L₁، ثم 1 × (−3) = −3.

حذف غاوس

يناسب المصفوفات الكبيرة، ويُستعمل أيضًا لحل نظام خطي.

نلغي الخانات الواقعة تحت كل محور. ويكون المحدد جداء القطر، مع تغيير الإشارة عند كل تبديل للصفوف.

تصبح صفوف A هي (1، 2، 3) و(0، −3، −6) و(0، 0، 1)، فالمحدد 1 × (−3) × 1 = −3. ومع 9 بدل 10، ينعدم صف كامل ويصبح المحدد 0.

قاعدة المثلث (3×3)

صيغة مباشرة للحجم 3 × 3، تُعرض بواسطة مثلثات.

نجمع القطر الرئيسي ومثلثين، ثم نطرح القطر الآخر ومثلثيه.

على A: (1 × 5 × 10 + 2 × 6 × 7 + 3 × 4 × 8) − (3 × 5 × 7 + 1 × 6 × 8 + 2 × 4 × 10) = −3.

قاعدة ساروس (3×3)

أكثر الطرق بصرية لحساب محدد 3 × 3 يدويًا.

ننسخ العمودين الأولين على اليمين: الأقطار النازلة موجبة والصاعدة سالبة. وهي الجداءات الستة نفسها في قاعدة المثلث.

على A: 230 نزولًا و233 صعودًا، أي 230 − 233 = −3.

صيغة لايبنتز

تعريف المحدد نفسه، وهي مفيدة في البراهين، ومحدودة هنا بالحجم 7 × 7.

لكل تبديلة نضرب خانة واحدة من كل صف وكل عمود، بإشارة التبديلة، ثم نجمع. ولا يعرض الحل أكثر من 24 حدًا.

عند n = 3 توجد 6 تبديلات: 50 − 48 − 80 + 84 + 96 − 105 = −3. وعند n = 2: 18 − 32 = −14.

طريقة مونتانتي (بارايس)

تتجنب الكسور الوسيطة: مع الأعداد الصحيحة، يبقى كل شيء عددًا صحيحًا.

تصبح كل خانة خارج صف المحور (المحور × الخانة − خانة عمود المحور × خانة صف المحور) ÷ المحور السابق. ويعطي المحور الأخير المحدد، مع مراعاة إشارة تبديلات الصفوف.

على A، المحاور هي 1 ثم −3 ثم −3، فيكون det(A) = −3.

الأسماء والرموز

• المحدد: اللفظ الأجنبي determinant من اللاتينية determinare، أي «ثبّت». استعمله غاوس، ثم أعطاه كوشي معناه الحالي.
• det(A): محدد المصفوفة A، ويُكتب أيضًا |A|. وهذه ليست قيمة مطلقة، فقد يكون سالبًا.
• المحيدد Mᵢⱼ: المحدد المتبقي بعد حذف الصف i والعمود j. والاسم تصغير للمحدد، ويقابل اللاتينية minor التي تعني «الأصغر».
• المعامل المرافق: المحيدد مع إشارته في نمط الرقعة، وهو العامل الذي يرافق الخانة في النشر.
• المحور: الخانة التي تُستعمل لإلغاء الخانات الأخرى. وكلمة pivot الفرنسية تعني القطعة التي يدور عليها الجهاز.
• نشر لابلاس: اسم آخر للنشر، نسبة إلى العالم الفرنسي بيير سيمون لابلاس (1749-1827).
• ساروس: بيير فريديريك ساروس (Pierre Frédéric Sarrus)، رياضي فرنسي (1798-1861) كان أستاذًا في ستراسبورغ.
• قاعدة المثلث: يصف الاسم شكل الجداءات، ولا يشير إلى شخص.
• لايبنتز: غوتفريد فيلهلم لايبنتز (Gottfried Wilhelm Leibniz)، فيلسوف ورياضي ألماني (1646-1716).
• التبديلة وsgn(σ): σ ترتيب جديد للأعداد من 1 إلى n، وσ(i) هو العمود المختار في الصف i. وإشارتها sgn(σ)، من اللاتينية signum، تساوي +1 بعد عدد زوجي من المبادلات، و−1 بعد عدد فردي.
• مونتانتي وبارايس: طريقتان متقاربتان دون كسور وسيطة، تحملان اسمي الأستاذ المكسيكي رينيه ماريو مونتانتي باردو (René Mario Montante Pardo) وإروين بارايس (Erwin Bareiss) الذي نشر طريقته سنة 1968.
• غاوس: كارل فريدريش غاوس (Carl Friedrich Gauss)، رياضي ألماني (1777-1855). وقد وصفت نصوص صينية قديمة مبدأ طريقته من قبل.
• L₂ وR₂ وC₂: يدل L₂ على الصف 2 في الدروس بالفرنسية والعربية، وR₂ على الصف نفسه بالإنجليزية، وC₂ على العمود 2. والعملية L₂ ← L₂ − 4·L₁ تعوض الصف 2 بالصف نفسه ناقص 4 مرات الصف 1.

نصائح وحدود

• اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار: ففي المصفوفة 4 × 4 المذكورة أعلاه، لا يترك العمود 2 سوى حد واحد.
• اكتب 1/3 بدل 0,33، لأن الأداة تقرأ 0,33 على أنه 33/100 بالضبط. ولتبسيط كسر، استخدم حاسبة الكسور.
• لإيجاد خطأ، اختر الطريقة والصف أو العمود المستعملين في ورقتك، ثم قارن الخطوات. وتبقى النتيجة إرشادية، فتحقق من إدخالك.
• تُقبل الأعداد الحقيقية فقط، دون أعداد عقدية أو متغيرات. وللحصول على كثير الحدود المميز، استخدم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
• ابتداءً من الحجم 5 × 5، يعطي النشر كل محيدد دون تفاصيله. ولرؤية كل شيء، اختر إنشاء الأصفار أو حذف غاوس.

أخطاء يجب تجنبها

• استعمال ساروس لمصفوفة 4 × 4: ترفض الأداة ذلك، لأن القاعدة لا تصلح إلا للحجم 3 × 3.
• نسيان إشارة نمط الرقعة: في الصف 1 من A، كتابة + بدل − أمام حد الخانة 2 تعطي 2 − 4 − 9 = −11 بدل −3.
• نسيان تغيير الإشارة بعد التبديل: تبديل الصفين 1 و2 من A يعطي محددًا يساوي 3، لا −3.
• الخلط بين المحيدد والمعامل المرافق: في A يساوي المحيدد M₁₂ القيمة −2، لكن معامله المرافق يساوي 2.

أسئلة شائعة

أدوات ذات صلة