حل نظام معادلات خطية

ما فائدة هذه الأداة؟

نظام معادلات خطية هو مجموعة معادلات يجب أن تتحقق كلها في الوقت نفسه، ولا يظهر فيها المجهول إلا مضروبًا في عدد. ويظهر هذا النظام كلما تعلقت عدة شروط بالكميات نفسها: التيارات في دارة كهربائية، ومقادير مكونات خليط، وموازنة تفاعل كيميائي، وملاءمة مستقيم مع قياسات.

تحل هذه الأداة النظام بالطريقة التي تختارها وتعرض كل عملية. فإذا كنت طالبًا، فقارن الطريقة التي درستها بما كتبته وتحقق من كل عملية. وإذا كنت باحثًا، فستحصل على أجوبة دقيقة وتحليل للرتب، وعلى المربعات الصغرى عندما لا تسمح البيانات بأي حل تام.

يتم الحساب داخل متصفحك دون إرسال أعدادك إلى خادم، ويبقى دقيقًا بالكسور، فالكسر 1/3 يبقى 1/3 حتى الخطوة الأخيرة. والنتائج إرشادية ولا تغني عن مراجعتك الشخصية للمسألة.

طريقة الاستخدام

1. حدد عدد المعادلات وعدد المجاهيل. يمثل كل صف في الشبكة معادلة واحدة: معاملات x₁ وx₂ وغيرهما، ثم الطرف الثاني b بعد الخط الفاصل.
2. اكتب 0 للمجهول غير الموجود. فالمعادلة 2x − z = 5 تُكتب 2 ثم 0 ثم −1، ثم 5 في العمود b. وتُقبل الكسور والأعداد العشرية.
3. اختر الطريقة التي يطلبها مقررك. تبين النتيجة هل يوجد حل واحد أو لا يوجد حل أو توجد حلول لا نهائية، ويعرض الحل المفصل كل عملية.

كيف يتم الحساب

يُكتب كل نظام في الصورة A·x = b: تضم المصفوفة A المعاملات، بصف لكل معادلة وعمود لكل مجهول، ويضم x المجاهيل وb قيم الطرف الثاني. وتضع المصفوفة الموسعة [A | b] العمود b بجانب A، وهي الشبكة التي تملؤها.

لا تغير ثلاث عمليات على الصفوف الحلول: تبديل صفين، وضرب صف في عدد غير منعدم، وإضافة مضاعف صف إلى صف آخر. وتعمل الصفحة عمودًا بعد عمود: تختار محورًا، وهو عدد غير منعدم، وتستخدمه لإنشاء الأصفار.

ثم تُقرأ النتيجة من الصفوف المختزلة. والرتبة هي عدد المحاور. والصف الذي يعطي 0 = قيمة غير منعدمة مستحيل: فتكون rank(A|b) أكبر من rank(A) ولا يوجد حل. وإذا ساوت الرتبتان عدد المجاهيل n فالحل وحيد. وإذا تساوتا وكانتا أصغر من n، أعطت الأعمدة التي بلا محور مجاهيل حرة وحلولًا لا نهائية.

أمثلة مفصلة

شرح كل طريقة

حذف غاوس

الطريقة العامة والاختيار الافتراضي: تناسب أي نظام، مربعًا كان أو غير مربع، مهما كان عدد حلوله.

تنشئ عمليات الصفوف أصفارًا تحت كل محور حتى الوصول إلى الصيغة الدرجية. وإذا كان الحل وحيدًا، يعطي التعويض العكسي المجاهيل من الأخير إلى الأول.

في 2x + y = 5 وx − y = 1، تعطي L₂ ← L₂ − (1/2)·L₁ الصف (0 ، −3/2 ، −3/2)، إذن x₂ = 1، ثم x₁ = (5 − 1 × 1) / 2 = 2.

غاوس-جوردان

لقراءة الجواب مباشرة دون تعويض عكسي، أو للحصول على الكتابة العامة للحل عند وجود مجاهيل حرة.

يُجعل كل محور مساويًا لـ1، ثم تُنشأ الأصفار تحته وفوقه معًا حتى الوصول إلى الصيغة الدرجية المختزلة، وهي وحيدة.

يُختزل النظام نفسه إلى الصفين (1 ، 0 ، 2) و(0 ، 1 ، 1)، فنقرأ x₁ = 2 وx₂ = 1.

قاعدة كرامر

صيغة مباشرة مناسبة عندما تكون المجاهيل قليلة. وتتطلب عدد معادلات مساويًا لعدد المجاهيل ومحددًا غير منعدم.

لكل مجهول، عوّض عموده بالطرف الثاني b لتحصل على Aᵢ، ثم احسب xᵢ = det(Aᵢ) / det(A). وتتيح لك حاسبة المحددات التحقق من كل محدد.

في النظام نفسه، det(A) = −3 وdet(A₁) = −6 وdet(A₂) = −3، إذن x₁ = (−6) / (−3) = 2 وx₂ = (−3) / (−3) = 1.

المصفوفة المعكوسة

مفيدة عندما تبقى A ثابتة ويتغير b، لأن معكوسًا واحدًا يكفي لكل طرف ثانٍ. ويجب أن تكون A مربعة وقابلة للعكس.

تختزل الصفحة [A | I]، حيث I مصفوفة الوحدة، حتى تصل إلى [I | A⁻¹]، ثم تحسب x = A⁻¹ · b. وتعالج حاسبة المصفوفات المعكوس وحده أيضًا.

في النظام نفسه، صفا A⁻¹ هما (1/3 ، 1/3) و(1/3 ، −2/3)، وهذا يعطي x₁ = 2 وx₂ = 1.

طريقة مونتانتي (بارايس)

للمقررات التي تطلبها، أو لتجنب الكسور عندما تكون المعاملات أعدادًا صحيحة. وتتطلب عدد معادلات مساويًا لعدد المجاهيل، وتعطي المحدد أيضًا.

لكل خانة خارج صف المحور: نضرب المحور في الخانة، ونطرح من الناتج جداء الخانة الواقعة في عمود المحور والخانة الواقعة في صف المحور، ثم نقسم على المحور السابق، وهو 1 في البداية. ومع الأعداد الصحيحة تكون كل قسمة تامة. وفي النهاية يملأ المحور الأخير القطر كله: فهو يعطي المحدد، مع مراعاة إشارة تبديلات الصفوف، ونقسم الطرف الثاني على هذا المحور.

في النظام نفسه، يعطي المحور الأول 2 الصف الثاني (0 ، −3 ، −3). ويعطي المحور الثاني −3، وسابقه 2، الصفين (−3 ، 0 ، −6) و(0 ، −3 ، −3). إذن det(A) = −3 وx₁ = 2 وx₂ = 1.

المربعات الصغرى

عندما تكون المعادلات أكثر مما يسمح بحل تام، كما في القياسات التي فيها تشويش. وهي تعطي أفضل حل وسط، لا حلًا لكل معادلة.

تضرب الصفحة A·x = b في منقول A، فنحصل على المعادلات الناظمية Aᵀ · A · x = Aᵀ · b، وهي متوافقة دائمًا. ويجعل حلها المتبقي أصغر ما يمكن، وتعرض الصفحة هذا المتبقي. وإذا كانت أعمدة A مرتبطة، فإن عدة قيم لـx تعطي المتبقي نفسه، وتعرض الصفحة الكتابة العامة للحل.

في النظام الافتراضي، وله حل تام، نجد x₁ = 2 وx₂ = 3 وx₃ = −1 والمتبقي 0. وفي مستقيم المثال 2، يساوي المتبقي 21/5.

اختبار التوافق

لمعرفة هل للنظام حلول وكم عددها، مع تحليل الرتب كاملًا. والتوافق يعني أن المعادلات لا يناقض بعضها بعضًا.

تختزل الصفحة [A | b] وتعد المحاور، ثم تقارن rank(A) وrank(A|b) وn وفق مبرهنة روشيه-كابيلي. وبعد ذلك تكتب الحل أو الكتابة العامة إن وُجدت.

في x + y + 2z = 3 وx + y + z = 1 و2x + 2y + 2z = 5، رتبة A تساوي 2 ورتبة [A|b] تساوي 3، لأن أحد الصفوف يعطي 0 = 3: لا يوجد حل. وإذا صار الطرف الثاني الأخير 2، تساوت الرتبتان عند 2 مع n = 3: حلول لا نهائية، حيث x₁ = −1 − x₂ وx₃ = 2 وx₂ حر.

الأسماء والرموز

• خطي: يظهر كل مجهول وحده بالأس 1، دون x² ودون جداء x·y. ويعود المصطلح الأوروبي إلى اللاتينية linea أي الخط، لأن معادلة بمجهولين ترسم مستقيمًا.
• المجهول: القيمة المطلوبة. وتعود عادة تسمية المجاهيل x وy وz إلى ديكارت في كتابه La Géométrie المنشور سنة 1637.
• x₁ وx₂: مجاهيل مرقمة، لأن الحروف تنفد بسرعة. فالرمز x₁ يحل محل x، والرمز x₂ يحل محل y، وهكذا حتى x₁₀.
• المعامل: العدد الذي يضرب المجهول. ويعود المصطلح الأوروبي إلى اللاتينية، ويوحي بما يعمل مع شيء آخر.
• الطرف الثاني b: ما يبقى بعد علامة التساوي عندما تكون المجاهيل كلها قبلها. فللمعادلة طرفان، واحد في كل جهة من هذه العلامة.
• المصفوفة الموسعة [A | b]: المصفوفة A موسعة بالعمود b. ولا يدل الخط الفاصل إلا على نهاية المعاملات.
• المجهول الحر: مجهول ليس في عموده محور. فلا يحدد أي صف قيمته، ومن هنا جاء وصفه بالحر.
• الرتبة rank(A): عدد المحاور. وتكتب سطور الحساب rank(A) في اللغات الثلاث، أخذًا من الكلمة الإنجليزية.
• L₂ ← L₂ − 3·L₁: يُعوَّض الصف 2 بالصف 2 ناقص 3 مرات الصف 1. وتكتب الصفحتان الفرنسية والعربية L اختصارًا للكلمة الفرنسية ligne، وتكتب الصفحة الإنجليزية R اختصارًا لكلمة row.
• غاوس: كارل فريدريش غاوس، عالم رياضيات ألماني. غير أن الطريقة أقدم منه بكثير، إذ يصفها النص الصيني «الفصول التسعة في الفن الرياضي».
• جوردان: فيلهلم جوردان (Wilhelm Jordan)، عالم ألماني في الجيوديسيا استخدم هذا الاختزال الكامل في كتاب عن علم المساحة. ولا ينبغي الخلط بينه وبين كاميل جوردان صاحب صيغة جوردان المستخدمة مع القيم الذاتية.
• كرامر: غابرييل كرامر، عالم رياضيات من جنيف، نشر قاعدته سنة 1750.
• مونتانتي وبارايس: طوّر رينيه ماريو مونتانتي باردو (René Mario Montante Pardo) طريقته في المكسيك بجامعة نويفو ليون المستقلة، ونشر إروين بارايس (Erwin Bareiss) سنة 1968 خوارزمية حذف بلا كسور. وتقوم الطريقتان على القسمة التامة على المحور السابق.
• روشيه وكابيلي: الفرنسي أوجين روشيه والإيطالي ألفريدو كابيلي. وللمبرهنة أسماء أخرى حسب البلد، مثل كرونكر-كابيلي.
• المربعات الصغرى: يكون مجموع مربعات الفروق أصغر ما يمكن. نشر أدريان ماري ليجاندر الطريقة سنة 1805، ثم نشرها غاوس سنة 1809 وذكر أنه كان يستخدمها قبل ذلك.
• المتبقي: يدل الخطان المزدوجان في رمزه على طول المتجه b − A·x، ويعطي الأس 2 مجموع مربعات الفروق.

نصائح وحدود

• يعيد زر «مثال» تحميل النظام الافتراضي، وهذا يتيح لك رؤية شبكة مملوءة.
• جرّب طريقتين على النظام نفسه: قد تختلف الصفوف الوسيطة، لكن الجواب يبقى واحدًا.
• غيّر طريقة العرض إلى «منازل عشرية» أو «أرقام معنوية» لقراءة قيم مقربة، فالعرض وحده هو الذي يتغير.
• يمكنك لصق جدول من جدول بيانات، على أن يكون b في العمود الأخير. وتُقبل الكتابة العلمية مثل 1,2e-4.
• الحد الأقصى 10 معادلات و10 مجاهيل بأعداد حقيقية. ولا تُقبل الأعداد العقدية ولا الحروف مثل a أو k، فإذا كان في النظام وسيط، فأعد الحساب لكل قيمة تختارها.

أخطاء يجب تجنبها

• نسيان 0 للمجهول غير الموجود: مع 3 مجاهيل، تُكتب x + z = 4 بالأعداد 1 ثم 0 ثم 1 ثم 4. وإذا أزحت الأعداد نحو البداية، فستحل نظامًا آخر.
• الخطأ في الإشارة: في −3x − y + 2z = −11 معامل y هو −1. انقل المجاهيل كلها أولًا إلى الطرف الأول، مع تغيير إشارة كل حد ينتقل عبر علامة التساوي.
• الخلط في ترتيب المجاهيل: تُكتب y + 2x = 5 بالأعداد 2 ثم 1 ثم 5، لأن كل عمود يحتفظ بالمجهول نفسه في جميع الصفوف.
• اعتبار جواب المربعات الصغرى حلًا تامًا: إذا لم يكن المتبقي منعدمًا، فإن بعض المعادلات لا تتحقق.

أسئلة شائعة

أدوات ذات صلة