القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

ما فائدة هذه الأداة؟

المتجه الذاتي لمصفوفة مربعة هو اتجاه لا تديره المصفوفة، بل تكتفي بتمديده أو تقصيره أو عكسه. أما القيمة الذاتية فتبين مقدار ذلك. فإذا كان ⁦A·v = 3·v⁩ احتفظ المتجه v باتجاهه، وضُرب كل طول على امتداده في 3. وتغيّر معظم المتجهات اتجاهها عند ضربها في مصفوفة، أما المتجهات الذاتية فهي الاستثناء، ولهذا تكشف ما تفعله المصفوفة حقًا.

تُستخدم هذه الأعداد في مجالات كثيرة. فالمهندسون يحسبون بها الترددات الطبيعية لبنية مهتزة، ويعرفون بها هل النظام مستقر أم لا. ويعتمد ترتيب صفحات الويب بطريقة Google على متجه ذاتي لمصفوفة من الروابط. ويستخرج منها تحليل المكونات الرئيسية أهم الاتجاهات في مجموعة من البيانات. وفي ميكانيكا الكم، تكون النتائج الممكنة لعملية القياس قيمًا ذاتية.

تجد هذه الحاسبة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة حقيقية حتى 8 × 8، ثم تتجاوز ذلك إلى التقطير وصيغة جوردان والدالة الأسية للمصفوفة وتحليل القيم المفردة. فإذا كنت طالبًا فيمكنك متابعة كل خطوة من كثير الحدود المميز إلى المتجهات، ومقارنتها بحلك. وإذا كنت باحثًا فستحصل على قيم دقيقة كلما أمكن، وعلى تعدد دقيق لكل قيمة، وعلى تحليل SVD والدالة الأسية لاختبار حالة صغيرة أو للتحقق من برنامجك الخاص. يتم الحساب داخل متصفحك. والنتائج إرشادية، فإذا كان العمل معدًّا للنشر فأكدها بطريقة ثانية.

طريقة الاستخدام

1. حدد حجم المصفوفة واملأ الخانات. تتطلب القيم الذاتية مصفوفة مربعة، ووحده تحليل SVD يقبل مصفوفة مستطيلة.
2. اختر ما تبحث عنه: القيم والمتجهات الذاتية، أو التقطير، أو صيغة جوردان، أو الدالة الأسية، أو تحليل القيم المفردة.
3. اقرأ النتيجة في الإيصال. تكون القيم دقيقة كلما أمكن، مثل (1 + √5)/2، وتشير العلامة ≈ إلى قيمة عددية مقربة.

كيف يتم الحساب

ينطلق كل شيء من المعادلة ⁦A·v = λ·v⁩، التي تُكتب أيضًا على الصورة ⁦(A − λI)·v = 0⁩، حيث I هي مصفوفة الوحدة. ولا يحققها متجه v غير منعدم إلا إذا كانت ⁦A − λI⁩ غير قابلة للعكس، أي إذا كان محددها يساوي 0. ومن هنا يأتي كثير الحدود المميز ⁦p(λ) = det(λI − A)⁩. فدرجته n عندما تكون المصفوفة من الحجم ⁦n × n⁩، وجذوره هي القيم الذاتية بالضبط.

تحسب الحاسبة كثير الحدود هذا بكسور دقيقة ثم تحلله إلى عوامل، فتحصل على التعدد الدقيق لكل جذر. وبعد ذلك تحل لكل قيمة ذاتية المعادلة ⁦(A − λI)·v = 0⁩ بطريقة الحذف، كما في نظام المعادلات الخطية. وحلول هذه المعادلة هي المتجهات الذاتية، وعدد الحلول المستقلة هو البعد المعروض في الصفحة.

تكون القيمة الذاتية دقيقة إذا كانت كسرًا، مثل 3 أو 1/2، أو إذا جاءت من عامل من الدرجة 2، مثل (1 + √5)/2 أو i. وإذا بقي بعد استخراج الكسور عامل من الدرجة 3 أو أكثر، حُسبت جذوره عدديًا ووُضعت أمامها العلامة ≈. ولا تكون المتجهات الذاتية دقيقة إلا للقيم الذاتية التي هي كسور: فالقيمة (1 + √5)/2 دقيقة، لكن متجهها عددي.

الدالة الأسية عددية دائمًا، وكذلك متجهات SVD. أما القيم المفردة فتبقى دقيقة كلما أمكن، مثل √5.

أمثلة مفصلة

شرح كل حساب

القيم والمتجهات الذاتية

هذا هو الحساب الذي يُبدأ به لفهم مصفوفة ما. فهو يعطي كثير الحدود المميز، وكل قيمة ذاتية مع تعددها وبعدها، والمتجهات الذاتية، ويبين هل المصفوفة قابلة للتقطير أم لا.

يُحسب كثير الحدود بكسور دقيقة ثم يُحلل إلى عوامل. وتعطي الكسور والعوامل من الدرجة 2 جذورًا دقيقة، أما الجذور الأخرى فعددية. ثم تقود كل قيمة ذاتية إلى النظام ⁦(A − λI)·v = 0⁩.

تعطي المصفوفة ⁦[(2, 0, 0) ; (0, 3, 4) ; (0, 4, 9)]⁩ كثير الحدود ⁦λ³ − 14λ² + 35λ − 22 = (λ − 11)(λ − 2)(λ − 1)⁩، مع المتجهات ⁦(0, 1, 2)⁩ و⁦(1, 0, 0)⁩ و⁦(0, −2, 1)⁩. وتعطي ⁦[(1, 1) ; (1, 0)]⁩ كثير الحدود ⁦λ² − λ − 1⁩ والقيمتين الدقيقتين ⁦(1 ± √5)/2⁩. وتعطي ⁦[(0, −1) ; (1, 0)]⁩ كثير الحدود ⁦λ² + 1⁩ والقيمتين العقديتين ⁦± i⁩.

تقطير المصفوفة

استخدمه لكتابة ⁦A = P·D·P⁻¹⁩. فالمصفوفة القطرية تبسط حساب القوى، لأن ⁦Aᵏ = P·Dᵏ·P⁻¹⁩، وتفصل معادلات النظام التفاضلي الخطي بعضها عن بعض.

تتحقق الحاسبة بطريقة دقيقة من أن لكل قيمة ذاتية عددًا من المتجهات المستقلة يساوي تعددها. فإذا تحقق ذلك أصبحت المتجهات الذاتية أعمدة P، والقيم الذاتية قطر D، بالترتيب نفسه. ثم تحسب ⁦P⁻¹⁩.

في المصفوفة ⁦[(2, 0, 0) ; (0, 3, 4) ; (0, 4, 9)]⁩ يحمل قطر D الأعداد 11 و2 و1، وأعمدة P هي ⁦(0, 1, 2)⁩ و⁦(1, 0, 0)⁩ و⁦(0, −2, 1)⁩. أما الدوران ⁦[(0, −1) ; (1, 0)]⁩ فلا يقبل التقطير إلا في الأعداد العقدية.

صيغة جوردان

استخدمها عندما لا تكون المصفوفة قابلة للتقطير. فهي تكتب ⁦A = P·J·P⁻¹⁩، حيث لا توجد في J قيم غير منعدمة إلا على القطر وفوقه مباشرة. وإذا كانت المصفوفة قابلة للتقطير فإن J هي D ببساطة.

لكل قيمة ذاتية، تقيس الحاسبة بعد نواة ⁦(A − λI)⁩، ثم نواة ⁦(A − λI)²⁩، وهكذا حتى تبلغ التعدد. ويحدد تزايد هذه الأبعاد عدد الكتل وحجمها. ثم تشكل سلاسل من المتجهات أعمدة P.

تعطي المصفوفة ⁦[(3, 1, 0) ; (0, 3, 0) ; (0, 0, 5)]⁩ كثير الحدود ⁦p(λ) = (λ − 5)(λ − 3)²⁩. وعند ⁦λ = 3⁩ تكون الأبعاد 1 ثم 2، أي كتلة جوردان واحدة بحجم 2 × 2. ومع الكتلة 1 × 1 الخاصة بالقيمة ⁦λ = 5⁩ نحصل على ⁦J = [(5, 0, 0) ; (0, 3, 1) ; (0, 0, 3)]⁩.

الدالة الأسية للمصفوفة

يفيد خصوصًا في الأنظمة التفاضلية الخطية: فحل ⁦x′ = A·x⁩ هو ⁦x(t) = e^(tA)·x(0)⁩. ولقيمة معينة من t، اضرب A في t أولًا ثم احسب الدالة الأسية.

التعريف هو المتسلسلة ⁦e^A = I + A + A²/2! + A³/3! + …⁩. وعمليًا تقسم الحاسبة A على 2 أس s، ثم تطبق تقريب باديه، ثم تربّع النتيجة s مرة، ويُختار s حسب ⁦‖A‖₁⁩. والنتيجة عددية دائمًا ومقربة عند العرض.

عند ⁦[(0, 1) ; (−1, 0)]⁩ يكون ⁦e^A = [(cos 1, sin 1) ; (−sin 1, cos 1)]⁩، أي دوران بزاوية 1 راديان، مع ⁦cos 1 ≈ 0,540302⁩ و⁦sin 1 ≈ 0,841471⁩. ويمكنك التحقق من هذين العددين في الآلة الحاسبة العلمية بوحدة الراديان.

تحليل القيم المفردة (SVD)

ينطبق على أي مصفوفة، ولو كانت مستطيلة، ويكتبها على الصورة ⁦A = U·Σ·Vᵀ⁩. ويعطي الرتبة والاتجاهات الرئيسية لجدول من البيانات. وهو الأداة المعتادة وراء تحليل المكونات الرئيسية والمربعات الصغرى وضغط البيانات.

تكوّن الحاسبة المصفوفة المتماثلة ⁦A·Aᵀ⁩، أو ⁦Aᵀ·A⁩ إذا كان عدد صفوف A أكبر من عدد أعمدتها. والقيم المفردة هي الجذور التربيعية لقيمها الذاتية، مرتبة تنازليًا. ثم تجعل دورانات جاكوبي الأعمدة متعامدة وتعطي U وV.

عند ⁦[(3, 0) ; (0, 4)]⁩ نجد ⁦A·Aᵀ = [(9, 0) ; (0, 16)]⁩ و⁦p(λ) = λ² − 25λ + 144⁩، فالقيمتان المفردتان هما 4 و3. أما المصفوفة 4 × 5 التالية ⁦[(1, 0, 0, 0, 2) ; (0, 0, 3, 0, 0) ; (0, 0, 0, 0, 0) ; (0, 2, 0, 0, 0)]⁩ فقيمها المفردة 3 و√5 و2 و0، ورتبتها 3.

الأسماء والرموز

• Eigen: كلمة ألمانية معناها «خاص» أو «ذاتي»، أي ما يخص الشيء نفسه. فالمتجه الذاتي متجه يخص المصفوفة ذاتها. وقد احتفظت الإنجليزية بالكلمة الألمانية، وتُرجمت في الفرنسية إلى «propre»، وتقول العربية «ذاتية». واستخدم دافيد هيلبرت هذا المصطلح الألماني في مطلع القرن العشرين.
• λ: الحرف اليوناني لامدا، وهو الرمز المعتاد للقيمة الذاتية. أما الدليل في ⁦λ₁⁩ أو ⁦λ₂⁩ فللترقيم فقط.
• v: المتجه الذاتي، ورمزه هو الحرف الأول من كلمة vector. ويشترط التعريف أن يكون ⁦v ≠ 0⁩.
• λI: مصفوفة الوحدة I مضروبة في λ، أي λ على القطر و0 في باقي الخانات.
• كثير الحدود المميز ⁦p(λ)⁩: سُمي مميزًا لأنه يحمل القيم الذاتية للمصفوفة ولا يتغير عند تغيير الأساس.
• التعدد الجبري: عدد المرات التي تكون فيها القيمة الذاتية جذرًا لكثير الحدود ⁦p(λ)⁩. وتسميه الصفحة «التعدد» فقط، وتكتبه بالحرف m في الخطوات.
• التعدد الهندسي: عدد المتجهات الذاتية المستقلة لقيمة ذاتية معينة، وتسميه الصفحة «البعد». وهو لا يقل عن 1 ولا يتجاوز التعدد الجبري.
• P وD: المصفوفة D قطرية تحمل القيم الذاتية، ومن هنا جاء حرفها من كلمة diagonal. وأعمدة P هي المتجهات الذاتية، وهي مصفوفة تغيير الأساس.
• صيغة جوردان J: نسبة إلى كاميل جوردان (Camille Jordan)، وهو رياضي فرنسي من القرن التاسع عشر. وتحمل كتلة جوردان قيمة ذاتية واحدة على قطرها والعدد 1 فوقه مباشرة. ولا ينبغي الخلط بينه وبين فيلهلم جوردان (Wilhelm Jordan)، وهو عالم ألماني في الجيوديسيا، وإليه يعود اسم طريقة غاوس-جوردان.
• ker: اختصار الكلمة الإنجليزية kernel، أي النواة، وهي مجموعة المتجهات التي ترسلها المصفوفة إلى 0. وتعرض الخطوات ⁦dim ker(A − λI)²⁩، أي بعد نواة ⁦(A − λI)²⁩.
• e^A: الدالة الأسية للمصفوفة A، وتُقرأ «e أس A». والعدد e هو عدد أويلر، ويساوي نحو 2,718282، وبهذا تمتد متسلسلة الدالة الأسية العادية إلى المصفوفات.
• تقريب باديه: نسبة إلى هنري باديه (Henri Padé)، وهو رياضي فرنسي درس هذه التقريبات، التي تقرّب دالة بكسر من كثيري حدود.
• القيمة المفردة σ: الحرف اليوناني سيغما، ولا ينبغي الخلط بينها وبين σ في الانحراف المعياري. والقيمة ⁦σ₁⁩ هي الأكبر، وهي أقوى تمديد تطبقه المصفوفة على متجه طوله 1.
• U وΣ و⁦Vᵀ⁩: الحرف Σ هو سيغما الكبير، وحجم هذه المصفوفة مثل حجم A، وتحمل قيم σ على قطرها. أما U وV فمصفوفتان متعامدتان، وأعمدتهما هي المتجهات المفردة. ويعني الحرف T «المنقول»: فصفوف ⁦Vᵀ⁩ هي أعمدة V.
• SVD: الحروف الأولى من العبارة الإنجليزية singular value decomposition، وتُستعمل أيضًا في الفرنسية والعربية.
• دورانات جاكوبي: نسبة إلى كارل غوستاف جاكوب جاكوبي (Carl Gustav Jacob Jacobi)، وهو رياضي ألماني من القرن التاسع عشر، استخدم دورانات في مستوٍ لحساب القيم الذاتية للمصفوفات المتماثلة.

نصائح وحدود

• تحقق سريع: مجموع القيم الذاتية، محسوبة بتعددها، يساوي الأثر (مجموع خانات القطر)، وجداؤها يساوي المحدد. ففي ⁦[(2, 1) ; (1, 2)]⁩ نجد 3 + 1 = 2 + 2 و3 × 1 = 3.
• للتحقق من متجه ذاتي، احسب ⁦A × v⁩ في حاسبة المصفوفات، ثم قارن النتيجة بالمتجه ⁦λ·v⁩.
• اكتب كسورًا بدل أعداد عشرية مقربة: 1/3 وليس 0,333. فالقيمة الذاتية المكررة هشة: إذا عوضت آخر 1 في ⁦[(1, 1) ; (0, 1)]⁩ بالعدد 1,001 حصلت على قيمتين مختلفتين، 1 و1,001، وصارت المصفوفة قابلة للتقطير.
• الحدود: خانات حقيقية فقط، حتى 8 × 8 و24 رمزًا في كل خانة. وتظهر القيم الذاتية العقدية في النتائج، لكن لا يمكنك إدخال أعداد عقدية ولا متغيرات.
• يبدّل حقل «طريقة العرض» بين «قيم دقيقة» و«منازل عشرية» و«أرقام معنوية»، حتى 15 رقمًا. ويتغير العرض فقط، لا الحساب.
• في تحليل المكونات الرئيسية، اطرح أولًا من كل عمود متوسطه ثم شغّل SVD: فالحاسبة لا تُجري مركزة البيانات نيابة عنك، وهي تقتصر على الجداول الصغيرة حتى 8 × 8.

أخطاء يجب تجنبها

• الخلط بين نوعي التعدد. ففي ⁦[(1, 1) ; (0, 1)]⁩ للقيمة ⁦λ = 1⁩ تعدد 2 لكن بعدها 1، والبعد وحده هو الذي يعد المتجهات المستقلة.
• انتظار متجه دقيق واحد عندما يتجاوز البعد 1. ففي مصفوفة الوحدة 3 × 3 يكون بعد القيمة ⁦λ = 1⁩ مساويًا لـ3، وكل متجه غير منعدم مناسب، ولا تعرض الحاسبة سوى أساس واحد من بين أسس كثيرة.
• مقارنة متجهات SVD إشارةً بإشارة مع برنامج آخر. فقد تتغير معًا إشارة عمود من U والعمود المقابل له من V دون أن تتغير A. قارن القيم المفردة بدلًا من ذلك، أو تحقق من أن ⁦U·Σ·Vᵀ⁩ يعيد A.
• الخلط بين القيم المفردة والقيم الذاتية. فالدوران ⁦[(0, −1) ; (1, 0)]⁩ قيمه الذاتية i و⁦−i⁩، بينما تساوي قيمتاه المفردتان 1 كلتاهما.
• الظن بوجود خطأ لأن إشارة كثير الحدود تخالف ما في كتابك. فبعض الدروس تستخدم ⁦det(A − λI)⁩، وعندما يكون n فرديًا يكون هذا المقدار معاكسًا للمقدار ⁦det(λI − A)⁩، وله الجذور نفسها.

أسئلة شائعة

أدوات ذات صلة