حاسبة المصفوفات

ما فائدة هذه الأداة؟

المصفوفة جدول من الأعداد مرتبة في صفوف وأعمدة. وقد تمثل معاملات نظام معادلات، أو تحويلًا هندسيًا، أو مجموعة من القياسات. فالمصفوفة 2 × 3 لها صفان و3 أعمدة، وتكون المصفوفة مربعة إذا تساوى هذان العددان.

تنجز هذه الحاسبة 17 عملية على مصفوفات من الأعداد الحقيقية، حتى الحجم 10 × 10. فإذا كنت تلميذًا أو طالبًا، يمكنك التحقق من تمرينك: إذ يعرض الحل بالتفصيل كل عملية، فتعرف الخطوة التي ابتعد فيها حسابك عن الصواب.

وإذا كنت باحثًا، فالكسور الدقيقة تجنبك أخطاء التقريب، ويمكنك لصق بياناتك بدل إعادة كتابتها، ومتابعة العمليات باستخدام النتيجة كمصفوفة A. ويتم الحساب داخل متصفحك دون إرسال أعدادك إلى أي خادم، ويبقى دقيقًا بالكسور.

طريقة الاستخدام

1. اختر العملية، ثم حدد حجم المصفوفة بالزرين + و−. عند اختيار A + B أو A × B أو معادلة مصفوفية، تظهر شبكة ثانية للمصفوفة B.
2. اكتب عددًا في كل خانة: أعداد صحيحة أو عشرية أو كسور مثل 3/4 أو كتابة علمية مثل 1,2e-4. ويمكنك أيضًا لصق جدول كامل من جدول بيانات أو من MATLAB أو Python.
3. اقرأ النتيجة في الإيصال، ثم تابع الحل سطرًا بسطر أسفله مباشرة. غيّر طريقة العرض إلى منازل عشرية عند الحاجة، واستخدم النتيجة كمصفوفة A لمتابعة عملية أخرى.

كيف يتم الحساب

السطر الأول هو قاعدة الجداء: نحصل على الخانة (i, j) من A × B بضرب الصف i من A في العمود j من B، عددًا بعدد، ثم جمع الجداءات.

وتعتمد معظم الحسابات الأخرى على ثلاث عمليات على الصفوف: تبديل صفين، وضرب صف في عدد غير منعدم، وإضافة مضاعف صف إلى صف آخر، كما في السطر الثالث من الصيغة. ولا تغير هذه العمليات الرتبة ولا حلول النظام المرتبط بالمصفوفة.

ولحساب المعكوس، نكتب A بجانب مصفوفة الوحدة فنحصل على [A | I]، ثم نطبق طريقة غاوس-جوردان: يصبح كل محور مساويًا لـ1 وباقي عموده أصفارًا. وعندما يصير الجزء الأيسر هو I، يكون الجزء الأيمن هو A⁻¹، لأن العمليات نفسها حولت A إلى I وحولت I إلى A⁻¹.

وتبقى الكسور دقيقة لأن مجموع كسرين أو فرقهما أو جداؤهما أو خارج قسمتهما يبقى كسرًا. ويبين السطر الأخير من الصيغة ذلك بالنسبة إلى المجموع، ويمكنك التدرب عليه في حاسبة الكسور. ويُحوَّل العدد العشري فور كتابته: فالعدد 0,1 يصبح 1/10. وهناك استثناءان: يأخذ شولسكي جذورًا تربيعية تبقى في صورة دقيقة مثل √2، ويحسب التقطير المتجهات الذاتية عدديًا، مع الرمز ≈، عندما لا تكون القيمة الذاتية كسرًا.

أمثلة مفصلة

شرح كل عملية

المحدد

يبين هذا العدد الواحد هل المصفوفة المربعة قابلة للعكس: فهي كذلك فقط إذا كان غير منعدم. احسبه قبل حساب المعكوس، أو لمعرفة هل للنظام المربع حل وحيد.

تحول الأداة المصفوفة إلى صيغتها الدرجية، ثم تضرب أعداد القطر، مع تغيير الإشارة عند كل تبديل للصفوف. ولاستخدام طريقة أخرى مثل ساروس، افتح حاسبة المحددات.

للصفين (2 1) و(1 3)، تعطي L₂ ← L₂ − (1/2)·L₁ الصفين (2 1) و(0 5/2)، إذن det(A) = 2 · (5/2) = 5.

معكوس المصفوفة

يلغي A⁻¹ أثر A: فالجداء A × A⁻¹ يعطي مصفوفة الوحدة. ويفيد في عزل مصفوفة داخل معادلة، إذ لا توجد قسمة على مصفوفة.

تطبق الأداة طريقة غاوس-جوردان على [A | I]، كما في المثال الأول. وإذا نقص أحد المحاور، تكون النتيجة: غير قابلة للعكس.

للصفين (1 2) و(2 4)، تترك L₂ ← L₂ − 2·L₁ صفًا من الأصفار في الجزء الأيسر: الرتبة 1 بدل 2، وdet(A) = 0، فلا يوجد معكوس.

المنقول

يبادل المنقول Aᵀ بين الصفوف والأعمدة. ويظهر في المربعات الصغرى، ويتيح التعرف على المصفوفة المتماثلة، وهي التي تساوي منقولها. وتُقبل جميع الأحجام.

يصبح الصف 1 العمود 1، والصف 2 العمود 2، وهكذا: تنتقل الخانة (i, j) إلى (j, i). ولا تتغير القيم.

الصفان (1 2 3) و(4 5 6) يكوّنان مصفوفة 2 × 3. ومنقولها بحجم 3 × 2، وصفوفه (1 4) و(2 5) و(3 6).

الرتبة

تعد الرتبة الصفوف المستقلة فعلًا. فهي تكشف البيانات المكررة، وتبين هل للنظام حلول عبر اختبار التوافق في حل نظام معادلات خطية.

تحول الأداة المصفوفة إلى صيغتها الدرجية وتعد الصفوف غير المنعدمة، أي المحاور. ولا تتجاوز الرتبة عدد الصفوف ولا عدد الأعمدة.

للصفوف (1 2 3) و(4 5 6) و(7 8 9)، تعطي L₂ ← L₂ − 4·L₁ وL₃ ← L₃ − 7·L₁ ثم L₃ ← L₃ − 2·L₂ الصفوف (1 2 3) و(0 −3 −6) و(0 0 0). الرتبة تساوي 2.

الضرب في عدد

تغير هذه العملية مقياس المصفوفة كلها، مثلًا لتحويل قياسات إلى وحدة أخرى أو لتحضير تأليفة مثل 2A − B.

تُضرب كل خانة في العدد k، وقد يكون عددًا صحيحًا أو عشريًا أو كسرًا. ولا يتغير حجم المصفوفة.

عند k = 3، يصبح الصفان (1 2) و(3 4) هما (3 6) و(9 12).

الرفع إلى قوة

Aⁿ هو جداء n نسخة من مصفوفة مربعة A. ويُستعمل في سلاسل ماركوف والمتتاليات الترجعية وعدّ المسارات في مبيان.

تربّع الأداة بالتكرار (A² ثم A⁴)، ثم تضرب القوى اللازمة، فيقل عدد الجداءات. ويمتد الأس من −64 إلى 64: فالأس السالب يستخدم المعكوس، والأس 0 يعطي مصفوفة الوحدة.

للصفين (1 1) و(1 0) وn = 5: يعطي A² الصفين (2 1) و(1 1)، ويعطي A⁴ الصفين (5 3) و(3 2)، ويعطي A⁵ = A · A⁴ الصفين (8 5) و(5 3)، وهي من أعداد فيبوناتشي.

الصيغة الدرجية

هذا الشكل الشبيه بالدرج هو نتيجة حذف غاوس. ويتيح قراءة الرتبة وحل النظام بالتعويض العكسي، من آخر معادلة إلى أولها.

تأخذ الأداة، عمودًا بعد عمود، أول خانة غير منعدمة محورًا، وتبدل الصفوف عند الحاجة، ثم تلغي الخانات التي تحته. ولا تُجعل المحاور مساوية لـ1.

تصبح الصفوف (1 2 3) و(4 5 6) و(7 8 10) هي (1 2 3) و(0 −3 −6) و(0 0 1)، وعدد محاورها 3.

الصيغة الدرجية المختزلة

تذهب هذه الصيغة أبعد: فكل محور يساوي 1 ويبقى وحده في عموده. ومنها تُقرأ مباشرة حلول النظام والمجاهيل الحرة.

تطبق الأداة طريقة غاوس-جوردان: تقسم كل صف على محوره، ثم تلغي باقي خانات العمود، فوقه وتحته.

تصبح الصفوف (1 2 3) و(4 5 6) و(7 8 9) هي (1 0 −1) و(0 1 2) و(0 0 0)، وعدد محاورها 2.

تقطير المصفوفة

يكتب التقطير المصفوفة المربعة على الصورة A = P · D · P⁻¹ حيث D قطرية، مما يبسط حساب القوى. ويعمل حتى 8 × 8. ولصيغة جوردان وSVD، افتح القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.

تحسب الأداة كثير الحدود المميز det(λI − A)، وجذوره هي القيم الذاتية، ثم تحل (A − λI)·v = 0 لكل قيمة. وتشكل المتجهات الذاتية أعمدة P. وإذا نقص بعضها، تكون النتيجة: غير قابلة للتقطير.

للصفين (2 1) و(1 2): p(λ) = λ² − 4λ + 3 = (λ − 3)(λ − 1). للقيمتين الذاتيتين 3 و1 المتجهان (1 1) و(−1 1). D: (3 0) و(0 1). P: (1 −1) و(1 1). P⁻¹: (1/2 1/2) و(−1/2 1/2).

تحليل LU

يكتب هذا التحليل A في صورة جداء مصفوفة مثلثية سفلى L ومصفوفة مثلثية عليا U. ويفيد عند حل عدة أنظمة لها المصفوفة A نفسها، لأن L وU تصلحان لكل طرف ثانٍ.

يعطي حذف غاوس المصفوفة U، ويوضع كل معامل مستخدم في L، التي تحمل العدد 1 على قطرها. ولا تُبدَّل الصفوف إلا إذا كان أحد المحاور منعدمًا، وتُكتب النتيجة حينها P · A = L · U.

للصفين (4 3) و(6 3)، تعطي L₂ ← L₂ − (3/2)·L₁ المعامل l₂₁ = 3/2. L: (1 0) و(3/2 1). U: (4 3) و(0 −3/2).

تحليل شولسكي

يخص هذا التحليل المصفوفات المتماثلة الموجبة التحديد، ويكتب A = L · Lᵀ حيث L مثلثية سفلى. ونصادفه في الإحصاء مع مصفوفات التغاير، وفي الأمثلية.

تتحقق الأداة من أن A تساوي منقولها، ثم تحسب L صفًا بصف، بكسور دقيقة وجذور تربيعية. وإذا لم يكن أحد المحاور موجبًا تمامًا، تتوقف وتعرض: ليست موجبة التحديد.

للصفوف (4 12 −16) و(12 37 −43) و(−16 −43 98)، صفوف L هي (2 0 0) و(6 1 0) و(−8 5 3). للتحقق: 6·6 + 1·1 = 37.

A + B

يضم الجمع جدولين لهما الحجم نفسه، مثل سلسلتين من القياسات أو نتائج فترتين.

كل خانة في النتيجة هي مجموع الخانتين اللتين في الموضع نفسه. والترتيب هنا غير مهم: A + B وB + A متساويتان.

إذا كانت صفوف A هي (1 2) و(3 4)، وصفوف B هي (5 6) و(7 8): 1 + 5 = 6، 2 + 6 = 8، 3 + 7 = 10، 4 + 8 = 12. فصفوف A + B هي (6 8) و(10 12).

A − B

يقيس الطرح الفرق بين مصفوفتين لهما الحجم نفسه، مثل الفرق بين نتيجتك ونتيجة التصحيح، أو بين مجموعتي بيانات.

تُطرح كل خانة من B من الخانة التي في الموضع نفسه من A. وهنا الترتيب مهم: B − A يعطي القيم المعاكسة.

بالمصفوفتين A وB نفسيهما، 1 − 5 و2 − 6 و3 − 7 و4 − 8 كلها تساوي −4. فصفوف A − B هي (−4 −4) و(−4 −4).

A × B

يربط الجداء بين تحويلين متتاليين، أو يطبق معاملات على بيانات، مثل الأسعار على الكميات. ويفيد أيضًا في التحقق من المعكوس، لأن A × A⁻¹ يجب أن يعطي مصفوفة الوحدة.

كل خانة هي جداء صف من A في عمود من B: نضرب الأعداد زوجًا زوجًا ثم نجمع. ويفصل المثال الثاني الخانات الأربع.

بالمصفوفتين A وB نفسيهما، الخانة الأولى هي 1·5 + 2·7 = 19، وصفوف A × B هي (19 22) و(43 50).

حل A·X = B

تبحث هذه العملية عن المصفوفة المجهولة X التي تحقق A·X = B، وهذا يعادل حل نظام واحد لكل عمود من B. ولطرف ثانٍ واحد مع اختيار الطريقة، استخدم حل نظام معادلات خطية.

تختزل الأداة [A | B] بطريقة غاوس-جوردان، فيعطي الجزء الأيمن X. وإذا أعطى أحد الصفوف 0 = قيمة غير منعدمة، فلا توجد مصفوفة X مناسبة. وإذا كانت الرتبة أقل من عدد أعمدة A، يوجد عدد لا نهائي من المصفوفات X.

بالمصفوفتين A وB نفسيهما، يصبح (1 2 | 5 6) و(3 4 | 7 8) هما (1 0 | −3 −4) و(0 1 | 4 5). فصفوف X هي (−3 −4) و(4 5).

حل Y + A = B

تبحث هذه العملية عن المصفوفة Y التي نضيفها إلى A لنحصل على B. وهي أبسط معادلة مصفوفية، وتتطلب مصفوفتين لهما الحجم نفسه.

نعزل Y بطرح A من الطرفين، كما في الأعداد: Y = B − A، خانة بخانة. والحل موجود دائمًا ووحيد.

بالمصفوفتين A وB نفسيهما، 5 − 1 و6 − 2 و7 − 3 و8 − 4 كلها تساوي 4. فصفوف Y هي (4 4) و(4 4).

عبارة حرة (A, B, C…)

للحساب بعدد المصفوفات الذي تحتاجه، حتى 8 مصفوفات، وبالترتيب الذي تريده: B × A أو A + B + C + D أو (A + B) × C أو 2A − B. ويُظهر كل حرف في العبارة شبكة خاصة به، سواء كتبته كبيرًا أم صغيرًا.

تُطبق الأولويات المعتادة: الأقواس، ثم القوى والمنقول، ثم الجداءات، ثم الجموع، من اليسار إلى اليمين. وتُعرض كل عملية وسيطة مع مصفوفتها. والرموز المقبولة هي + و− و* و/ و^. اكتب A^-1 للمعكوس، وA^T أو A' للمنقول. ولا تجوز القسمة إلا على عدد: وللقسمة على B اكتب A*B^-1.

إذا كانت صفوف A هي (1 2) و(3 4)، وصفوف B هي (5 6) و(7 8): فإن B*A تعطي الصفين (23 34) و(31 46)، وA*B تعطي (19 22) و(43 50)، وA+B تعطي (6 8) و(10 12).

الأسماء والرموز

• المصفوفة: كلمة matrix اللاتينية مرتبطة بكلمة mater (الأم)، بمعنى ما ينشأ منه شيء آخر. وقد أدخلها جيمس جوزيف سيلفستر إلى الرياضيات في القرن التاسع عشر. أما الكلمة العربية مصفوفة فمشتقة من صف.
• A⁻¹: تُقرأ «معكوس A». ويؤدي A⁻¹ بالنسبة إلى A الدور الذي يؤديه 1/2 بالنسبة إلى 2. وهو ليس مصفوفة مقلوبات الخانات.
• Aᵀ: الحرف T من كلمة transpose أي المنقول. وتكتب بعض الكتب الفرنكوفونية ᵗA للمصفوفة نفسها.
• det(A): اختصار determinant أي المحدد، وهو عدد يحدد هل A قابلة للعكس. ويُكتب أيضًا |A|، مع أن نتيجته قد تكون سالبة.
• الرتبة: تعرض الحاسبة rank(A)، وتكتب الدروس الفرنكوفونية غالبًا rg(A). وهي عدد المحاور.
• المحور: خانة غير منعدمة تُستخدم لإلغاء باقي خانات عمودها. ويدور الحساب حولها كما يدور حول محور، وهذا معنى الكلمة العربية.
• L وU: الحرفان الأولان من الكلمتين الإنجليزيتين Lower (سفلى) وUpper (عليا)، لأن L لا تحمل قيمًا إلا على القطر وتحته، وU إلا على القطر وفوقه.
• غاوس: كارل فريدريش غاوس، عالم رياضيات ألماني. والحذف الذي يحمل اسمه أقدم منه بكثير: إذ يرد في الكتاب الصيني «الفصول التسعة في الفن الرياضي».
• جوردان: في غاوس-جوردان هو فيلهلم جوردان، وهو عالم ألماني في الجيوديسيا، ولا ينبغي الخلط بينه وبين كاميل جوردان، عالم الرياضيات الفرنسي الذي تحمل صيغة جوردان اسمه.
• شولسكي: أندريه لويس شولسكي، ضابط فرنسي وعالم في الجيوديسيا، وضع هذه الطريقة لحسابات المسح الطبوغرافي. ونُشرت بعد وفاته التي حدثت خلال الحرب العالمية الأولى.
• L₂ ← L₂ − 3·L₁: تعني «يصبح الصف 2 هو الصف 2 ناقص 3 مرات الصف 1». والحرف L من الكلمة الفرنسية ligne، وهو ما يُستعمل في الأقسام الفرنكوفونية والعربية، بينما تكتب الإنجليزية R₂ ← R₂ − 3·R₁، حيث R من row. ولا علاقة لهذا L₂ بالمصفوفة L في LU.
• I: مصفوفة الوحدة، وفيها العدد 1 على القطر والعدد 0 في باقي الخانات. وتحقق A × I = A، كما تحقق الأعداد x × 1 = x.
• الدرجية: تنزل المحاور كالدرج. والكلمة العربية من درجة، أي درجة السلم، والكلمة الإنجليزية echelon من الفرنسية échelon، أي درجة السلم أيضًا.

نصائح وحدود

• تحقق من المعكوس: بعد الحساب، اضغط على استخدامها كمصفوفة A، واختر A × B، واكتب المصفوفة الأصلية في B. يجب أن تحصل على مصفوفة الوحدة تمامًا.
• اكتب القيم الدقيقة: 1/3 بدل 0,33 الذي تقرؤه الأداة على أنه 33/100. ويُكتب العدد العشري الدوري هكذا: 1,3(56).
• يُعرض الكسر الطويل جدًا مقربًا مع الرمز ≈، لكن زر نسخ النتيجة يحتفظ بالكسر الدقيق عندما تكون النتيجة مصفوفة واحدة. أما الجذر مثل √2 فيُنسخ بأعداد عشرية.
• الحدود: حتى 10 × 10، و8 × 8 للتقطير، وأعداد حقيقية فقط، دون أعداد عقدية أو متغيرات مثل x.
• النتائج إرشادية: في الواجبات أو المنشورات، اتبع الطريقة المطلوبة منك واحتفظ بتحقق مستقل.

أخطاء يجب تجنبها

• الضرب خانة بخانة: بالنسبة إلى A وB في المثال، يعطي ذلك 5 و12 و21 و32 بدل (19 22) و(43 50).
• عكس كل خانة: معكوس المصفوفة التي صفوفها (2 1) و(1 3) ليست خاناته 1/2 و1 و1 و1/3، بل 3/5 و−1/5 و−1/5 و2/5.
• نسيان الإشارة: كل تبديل للصفوف يغير إشارة المحدد، وضرب صف في k يضرب المحدد في k.
• الإبقاء على الترتيب نفسه: معكوس A × B هو B⁻¹ × A⁻¹، ومنقول A × B هو Bᵀ × Aᵀ.

أسئلة شائعة

أدوات ذات صلة