معادلة من الدرجة الأولى

حاسبة مجانية لحل معادلة من الدرجة الأولى ax + b = cx + d والمتراجحات، مع الخطوات والحل في شكل كسر ومجال الحلول.

ما الذي تبحث عنه
الطرف الأيسر: ax + b
الطرف الأيمن: cx + d (0 إذا كان فارغًا)
معادلتك

3x + 5 = x − 1

معاملات بين −مليار ومليار: أعداد صحيحة أو عشرية (بفاصلة أو نقطة) أو كسور (3/4). يساوي c وd الصفر إذا تركتهما فارغين. الحساب مضبوط: يُعطى الحل في شكل كسر وفي شكل قيمة عشرية مقربة إلى 4 أرقام.

تقرير الحساب- / - / -
الحل x−3

الحل هو x = −3.

ما الذي تبحث عنهمعادلة
معادلتك3x + 5 = x − 1
مجموعة الحلولS = {−3}
تقرير PDF يتضمن النتيجة والرسم البياني والجدول التفصيلي.

الحل بالتفصيل

  1. ننطلق من:

    3x + 5 = x − 1

  2. نجمع الحدود التي تحتوي x في الطرف الأيسر والأعداد في الطرف الأيمن (يتغير إشارة الحد عند نقله إلى الطرف الآخر):

    3x − x = −1 − 5

  3. نختزل كل طرف:

    2x = −6

  4. نقسم الطرفين على 2:

    x = −6 ÷ 2 = −3

  5. مجموعة الحلول:

    S = {−3}

ما فائدة هذه الأداة؟

تحل هذه الأداة المعادلات من الدرجة الأولى من الشكل ax + b = cx + d، حيث يمكن أن يظهر x في الطرفين. كما تحل المتراجحات من الدرجة الأولى بالرموز > أو ≥ أو < أو ≤. أدخل المعاملات الأربعة فتحصل على الحل ومجموعة الحلول S وكل خطوات الحساب.

الجواب مضبوط: إذا كان الحل 1/3 فسترى 1/3 وقيمته العشرية 0,3333، وليس قيمة مقربة فقط. وفي المتراجحة تكون النتيجة مجالًا مثل ]−∞ ; 3[، ويبين مستقيم عددي القيم المناسبة. كما تُشرح الحالات الخاصة: معادلة بلا حل، أو معادلة كل الأعداد الحقيقية حلول لها.

الأداة موجهة لتلاميذ الإعدادي والثانوي الذين يريدون التحقق من تمارينهم، ولكل من يقارن بين ثمنين أو عرضين. ولحل معادلتين بمجهولين في الوقت نفسه، استعمل حاسبة نظمة المعادلات.

طريقة الاستخدام

  1. اختر معادلة أو متراجحة.
  2. أدخل a وb (الطرف الأيسر)، ثم c وd إذا ظهر x في الطرف الأيمن أيضًا. اترك c وd فارغين لمعادلة من الشكل ax + b = 0.
  3. اقرأ الحل ومجموعة الحلول S والحل المفصل مع التحقق.

يمكن أن تكون المعاملات أعدادًا صحيحة أو عشرية بفاصلة أو نقطة أو أعدادًا سالبة أو كسورًا مثل 3/4. إذا كتبت كسرًا فستبقى النتائج في شكل كسور. تتحدث النتيجة أثناء الكتابة، وزر المشاركة ينسخ رابطًا يعيد فتح المعادلة نفسها.

طريقة الحساب

ax + b = cx + d  ⇔  ax − cx = d − b  ⇔  (a − c)x = d − b
a ≠ c: x = (d − b) ÷ (a − c)  ·  a = c: S = ℝ (b = d) أو S = ∅ (b ≠ d)
k < 0: kx > m  ⇔  x < m ÷ k

حل المعادلة يعني عزل x. ننقل أولًا كل الحدود التي تحتوي x إلى الطرف الأيسر وكل الأعداد إلى الطرف الأيمن. الحد الذي ينتقل من طرف إلى آخر تتغير إشارته: +5 في اليسار يصبح −5 في اليمين. ثم نختزل كل طرف لنحصل على (a − c)x = d − b، ونقسم الطرفين على a − c.

عندما يكون a = c تختفي الحدود التي تحتوي x، ولا تبقى في المعادلة إلا أعداد. إذا كانت المتساوية الناتجة صحيحة مثل 0 = 0، فكل عدد حقيقي حل. وإذا كانت خاطئة مثل 0 = 4، فلا يوجد أي حل.

تُحل المتراجحة بالطريقة نفسها مع قاعدة إضافية: عند قسمة الطرفين أو ضربهما في عدد سالب، يتغير منحى المتراجحة. وتوضح الحاسبة متى تفعل ذلك ولماذا.

مثال تطبيقي

المثال 1: متى يتساوى ثمن عرضين للهاتف؟

  1. العرض A يكلف 30 DH شهريًا زائد 2 DH لكل جيغا، والعرض B يكلف 60 DH زائد 0,5 DH لكل جيغا. مع x جيغا يتساوى الثمنان إذا كان 2x + 30 = 0,5x + 60.
  2. نجمع الحدود: 2x − 0,5x = 60 − 30، إذن 1,5x = 30.
  3. نقسم على 1,5: x = 30 ÷ 1,5 = 20.
  4. التحقق: 2 × 20 + 30 = 70 و0,5 × 20 + 60 = 70.

عند 20 جيغا يكلف العرضان 70 DH. وفوق 20 جيغا يصبح العرض B أرخص.

سيناريو آخر: ما المسافة التي يمكن قطعها بسيارة أجرة بـ50 DH؟

  1. لنأخذ 7 DH عند الركوب زائد 4 DH لكل كيلومتر (أثمنة للمثال). مع x كيلومتر نحتاج إلى 4x + 7 ≤ 50.
  2. ننقل العدد 7: 4x ≤ 50 − 7، إذن 4x ≤ 43.
  3. نقسم على 4، وهو عدد موجب، فيبقى المنحى نفسه: x ≤ 43 ÷ 4 = 10,75.

S = ]−∞ ; 10,75]. المسافة عدد موجب، إذن يمكنك قطع ما يصل إلى 10,75 km.

فهم النتائج

لماذا يتغير المنحى

لنأخذ −2x + 6 > 0. بنقل 6 نحصل على −2x > −6. وبالقسمة على −2 نحصل على x < 3 وليس x > 3. لنتحقق بـx = 0: العدد −2 × 0 + 6 = 6 أكبر فعلًا من 0، والعدد 0 أصغر فعلًا من 3.

لا حل أو كل الأعداد

مع 2x + 1 = 2x + 5 تختفي x ويبقى 1 = 5، وهذا خطأ: S = ∅. ومع 2x + 2 = 2x + 2 يبقى 2 = 2، وهذا صحيح دائمًا: S = ℝ. تحدث الحالتان عندما يكون a = c.

كسر أم عدد عشري

المعادلة 3x = 1 تعطي x = 1/3. قيمته العشرية 0,3333 ليست إلا تقريبًا، لأن الأرقام 3 لا تنتهي. في التمرين اكتب 1/3، وفي فاتورة أو قياس استعمل القيمة المقربة.

قراءة مجال

المعقوف المتجه نحو العدد يعني أنه ضمن الحلول: [2 ; +∞[ تعني x ≥ 2. والمعقوف المتجه إلى الخارج يعني أنه مستبعد: ]−∞ ; 3[ تعني x < 3. وعند اللانهاية يكون المعقوف مفتوحًا دائمًا.

نصائح وحدود

  • تحقق من جوابك بتعويضه في الطرفين: يجب أن يعطيا العدد نفسه.
  • عند الحل باليد، تخلص أولًا من الكسور بضرب كل حد في المقام المشترك.
  • في المسائل، اكتب ما يمثله x قبل كتابة المعادلة.
  • استعمل حاسبة الكسور إذا كانت المعاملات نفسها تحتاج إلى تبسيط.

أخطاء يجب تجنبها

  • نقل حد إلى الطرف الآخر دون تغيير إشارته.
  • قسمة طرف واحد فقط من المعادلة على المعامل.
  • نسيان تغيير منحى المتراجحة بعد القسمة على عدد سالب.
  • كتابة «لا يوجد حل» عندما تؤول المعادلة إلى 0 = 0: كل الأعداد حلول.

أسئلة شائعة

كيف أحل معادلة من الدرجة الأولى؟

نجمع الحدود التي تحتوي x في طرف والأعداد في الطرف الآخر، مع تغيير إشارة كل حد ينتقل من طرف إلى آخر. ثم نختزل ونقسم على معامل x. مثلًا 3x + 5 = x − 1 تعطي 2x = −6، إذن x = −3.

لماذا يتغير منحى المتراجحة؟

الضرب أو القسمة على عدد سالب يعكس الترتيب: 2 < 3 لكن −2 > −3. لذلك في −2x > −6 تعطي القسمة على −2 النتيجة x < 3 وليس x > 3.

ماذا يحدث إذا كان a = c؟

يختفي x. إذا كانت الأعداد المتبقية متساوية (0 = 0) فكل عدد حل: S = ℝ. وإلا (مثل 0 = 4) فلا يوجد أي حل: S = ∅.

هل يمكن أن يكون x في طرفي المعادلة؟

نعم. أدخل معامل x في الطرف الأيمن في الخانة c والعدد في الطرف الأيمن في الخانة d. ولمعادلة ax + b = 0 اترك c وd فارغين.

ما هي المعادلة من الدرجة الأولى؟

معادلة لا يظهر فيها x إلا بالأس 1: لا يوجد x² ولا x في المقام. لها حل واحد على الأكثر، إلا إذا كان a = c.

معادلة من الدرجة الثانيةنظام معادلات خطيةالدوالالكسورالآلة الحاسبة العلميةالتناسب