ما فائدة هذه الأداة؟
تدرس هذه الحاسبة دالة للمتغير x على المجال الذي تختاره. اكتب f(x) كما تكتبها في القسم، مثل 2x + 3 أو x² − 2x − 3 أو sqrt(x) أو sin(x)، وحدد البداية والنهاية والخطوة، فتحصل على جدول القيم ومنحنى الدالة وأصفار f على هذا المجال.
عندما تكون الدالة تآلفية f(x) = mx + p، تتعرف عليها الحاسبة وتعطي معاملها الموجه m وأرتوبها عند الأصل p. أما في الدوال الأخرى فتعرض f(0) وأصغر وأكبر قيمة في الجدول، وهي طريقة سريعة لرؤية أين يصعد المنحنى وأين ينزل.
تستعمل الحاسبة المحلل نفسه الذي تستعمله الآلة الحاسبة العلمية، مع x متغيرًا والزوايا بالراديان. وهي مناسبة لتلاميذ الإعدادي والثانوي الذين يحتاجون إلى جدول قيم لرسم منحنى، أو يريدون التحقق من شكله قبل رسمه باليد.
طريقة الاستخدام
- اكتب الدالة بالمتغير x، مثل 2x + 3 أو x² − 4 أو sqrt(x).
- اختر بداية المجال ونهايته، ثم الخطوة بين قيمتين متتاليتين لـ x.
- اقرأ المنحنى وجدول القيم والنتائج: الأصفار، وأصغر وأكبر قيمة في الجدول، والميل والأرتوب عند الأصل إذا كانت f تآلفية.
يمكنك كتابة 2x بدل 2 × x، و3(x + 1) بدل 3 × (x + 1)، وx² أو x^2 للقوى. يجب أن تكون الخطوة موجبة، ولا يتجاوز الجدول 201 سطر، أما المنحنى فيستعمل دائمًا 400 نقطة مهما كانت الخطوة. زر المشاركة ينسخ رابطًا بالدالة والمجال نفسيهما.
طريقة الحساب
f(x) = mx + p: p = f(0), m = f(1) − f(0)
f(x₁) و f(x₂) متعاكستان في الإشارة ⇒ يوجد صفر بين x₁ وx₂ (التفرع الثنائي)
يبدأ الجدول من أول قيمة لـ x ويضيف الخطوة في كل سطر حتى نهاية المجال. تُحسب كل قيمة انطلاقًا من تعبيرك، والنقطة التي لا توجد فيها f تُكتب «غير معرفة» بدل أن يتوقف الجدول كله.
لمعرفة هل f تآلفية، تحسب الحاسبة p = f(0) وm = f(1) − f(0)، ثم تتحقق أن f(x) يساوي mx + p في عدة نقط أخرى. إذا تحقق ذلك في كل مكان فالدالة تآلفية، وإلا فليست كذلك حتى لو بدت مستقيمة على مجال صغير.
صفر الدالة قيمة لـ x يكون فيها f(x) = 0. تبحث الحاسبة عن المواضع التي تغير فيها f إشارتها، ثم تقسم الفجوة إلى نصفين مرة بعد مرة حتى تعرف الصفر بعدد كبير من الأرقام. ولا يُحتسب تغير الإشارة عبر مقارب عمودي، كما في 1/x عند 0.
مثال تطبيقي
المثال 1: دالة تآلفية f(x) = 4x + 7
- المجال من 0 إلى 10 بخطوة 2: x = 0 و2 و4 و6 و8 و10، إذن في الجدول 6 أسطر.
- القيم: f(0) = 7 وf(2) = 15 وf(4) = 23 وf(6) = 31 وf(8) = 39 وf(10) = 47.
- الأرتوب عند الأصل p = f(0) = 7، والمعامل الموجه m = f(1) − f(0) = 11 − 7 = 4: كل وحدة إضافية من x تضيف 4.
- الصفر هو x = −1,75 وهو خارج المجال، فلا يُعرض أي صفر.
f تآلفية ميلها 4 وأرتوبها عند الأصل 7: مثلًا 7 DH عند الركوب زائد 4 DH لكل كيلومتر.
سيناريو آخر: شلجم f(x) = x² − 2x − 3
- المجال من −2 إلى 4 بخطوة 0,5: 13 سطرًا.
- ينزل الجدول من f(−2) = 5 إلى f(1) = −4، ثم يصعد إلى f(4) = 5.
- يقطع المنحنى محور الأفاصيل مرتين: الصفران هما x = −1 وx = 3.
الدالة ليست تآلفية؛ أصغر قيمة في الجدول −4 عند x = 1، والصفران −1 و3.
فهم النتائج
المعامل الموجه والأرتوب عند الأصل
في f(x) = mx + p يمثل p النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الأراتيب، ويقيس m ميله. الميل الموجب يجعل المستقيم يصعد من اليسار إلى اليمين، والسالب يجعله ينزل، وm = 0 يعطي مستقيمًا أفقيًا.
قراءة الجدول
لا يعرض الجدول f إلا عند القيم المختارة، وبين سطرين قد تتصرف الدالة بأي شكل، لذلك تعطي خطوة أصغر صورة أدق. ويستعمل المنحنى 400 نقطة لملء الفراغات.
الأصفار والمنحنى
الأصفار هي النقط التي يلتقي فيها المنحنى بمحور الأفاصيل. في ثلاثية الحدود هي حلول ax² + bx + c = 0، وتعطيها حاسبة المعادلة من الدرجة الثانية بشكل مضبوط مع الجذور.
القيم غير المعرفة
ليس لـ sqrt(x) قيمة عندما يكون x < 0، ويتطلب ln(x) أن يكون x > 0، و1/x غير معرفة في 0. يشير الجدول إلى هذه الأسطر، ويترك المنحنى فراغًا بدل وصل النقط.
نصائح وحدود
- اختر مجالًا يضم الجزء المهم من المنحنى، ثم صغّر الخطوة لرؤية التفاصيل.
- ضع الأقواس في الكسور: اكتب (x + 1)/(x − 1) وليس x + 1/x − 1.
- لمعرفة أين يساوي f(x) عددًا k، ادرس f(x) − k واقرأ أصفارها.
- للحل المضبوط لـ 2x + 3 = 0، تعرض حاسبة المعادلة من الدرجة الأولى كل خطوة.
أخطاء يجب تجنبها
- نسيان أن الدوال المثلثية هنا بالراديان: sin(90) لا يساوي 1.
- اعتبار أصغر قيمة في الجدول أصغر قيمة للدالة: قد تقع بين سطرين.
- اختيار خطوة كبيرة جدًا تجعل الجدول يفوّت صفرًا أو قمة.
- القول إن الدالة تآلفية لأن نقطتين على استقامة واحدة: يجب أن يصح ذلك لكل x.
أسئلة شائعة
كيف أنجز جدول قيم؟
نختار قيمًا لـ x متباعدة بانتظام، ثم نحسب f(x) لكل منها. مع f(x) = 2x + 3 من 0 إلى 3 بخطوة 1: f(0) = 3 وf(1) = 5 وf(2) = 7 وf(3) = 9.
كيف أجد ميل دالة تآلفية؟
المعامل الموجه m هو تغير f عندما يزيد x بـ1: m = f(1) − f(0). والأرتوب عند الأصل p هو f(0). في 2x + 3 لدينا m = 2 وp = 3.
لماذا تظهر بعض القيم «غير معرفة»؟
الدالة غير موجودة في تلك النقطة: جذر مربع لعدد سالب، أو قسمة على صفر، أو لوغاريتم عدد سالب. مثلًا 1/x غير معرفة في x = 0.
هل يمكنني نسخ الجدول إلى جدول بيانات؟
نعم. زر نسخ النتيجة ينسخ x وf(x) مفصولين بعلامة جدولة، سطرًا لكل قيمة، فيُلصق الجدول في عمودين.
ما دقة الأصفار؟
تُدقق بالتفرع الثنائي حتى نحو عشرة أرقام معنوية، ثم تُقرب إلى أربعة أرقام بعد الفاصلة للعرض. هي قيم تقريبية، بخلاف الجذور المضبوطة في حاسبة المعادلة من الدرجة الثانية.