ما فائدة هذه الأداة؟
تطبق هذه الحاسبة مبرهنة فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية. أدخل ضلعي الزاوية القائمة فتحسب الوتر، أو أدخل الوتر وأحد الضلعين فتحسب الضلع الآخر. أما الوضع الثالث فيستعمل المبرهنة العكسية لفيثاغورس ليخبرك هل تشكل ثلاثة أطوال مثلثًا قائم الزاوية، وإن لم يكن كذلك، هل المثلث حاد الزوايا أم منفرج الزاوية.
ترافق كل نتيجة كتابةٌ كاملة للحل كما ينتظرها الأستاذ: نص المبرهنة، ثم التعويض بالقيم، ثم المربعات، ثم الجذر التربيعي، ثم القيمة المضبوطة في شكل جذر مبسط مثل 5√2، وأخيرًا القيمة العشرية. الأداة موجهة لتلاميذ الإعدادي والثانوي في المغرب وغيره ممن يريدون التحقق من تمرين، ولكل من يحتاج إلى قطر أو ارتفاع في ورش بناء.
إذا لم يكن المثلث قائم الزاوية، فاستعمل حاسبة المثلث التي تحل أي مثلث انطلاقًا من ثلاثة أضلاع أو ضلعين وزاوية.
طريقة الاستخدام
- اختر ما تبحث عنه: الوتر، أو أحد ضلعي الزاوية القائمة، أو المبرهنة العكسية (هل المثلث قائم؟).
- أدخل الأطوال المعروفة بالوحدة نفسها. الحروف a وb وc هي نفسها الموجودة على الرسم.
- اقرأ النتيجة المضبوطة والعشرية، ثم الحل المفصل الذي يمكنك نقله إلى ورقتك.
يمكن أن تكون الأطوال أعدادًا صحيحة أو عشرية بفاصلة أو نقطة، أو كسورًا مثل 3/4. يجب أن تكون كلها بالوحدة نفسها، وتُعطى النتيجة بهذه الوحدة. تتحدث النتيجة أثناء الكتابة. زر المشاركة ينسخ رابطًا يعيد فتح الوضع نفسه بالأطوال نفسها.
طريقة الحساب
ضلع: b² = c² − a² → b = √(c² − a²)
العكسية: (أطول ضلع)² = مجموع مربعي الضلعين الآخرين ⇔ مثلث قائم
في مثلث قائم الزاوية في C، ضلعا الزاوية القائمة هما a وb، والوتر c هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. تنص المبرهنة على أن c² = a² + b². لإيجاد c نجمع المربعين ثم نأخذ الجذر التربيعي. ولإيجاد أحد ضلعي الزاوية القائمة نطرح: b² = c² − a²، وهذا لا يمكن إلا إذا كان الوتر أطول من هذا الضلع.
تحسب الأداة بكسور مضبوطة حتى النهاية. وعندما لا يكون العدد تحت الجذر مربعًا كاملًا، تبسط الجذر بإخراج أكبر عامل مربع: √72 = √(36 × 2) = 6√2. ولا تُقرَّب القيمة العشرية إلى أربعة أرقام إلا عند العرض.
في المبرهنة العكسية، تحدد الحاسبة أطول ضلع بنفسها، فيمكنك إدخال الأطوال الثلاثة بأي ترتيب. إذا كان مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فالمثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة مقابلة لأطول ضلع.
مثال تطبيقي
المثال 1: قطر شاشة عرضها 80 cm وارتفاعها 45 cm
- العرض والارتفاع يشكلان زاوية قائمة، إذن القطر هو الوتر: c² = a² + b².
- نعوض بالقيم: c² = 80² + 45² = 6400 + 2025 = 8425.
- نأخذ الجذر التربيعي: c = √8425. وبما أن 8425 = 5² × 337، فالقيمة المضبوطة هي 5√337.
- القيمة العشرية: c ≈ 91,79 cm، وبالقسمة على 2,54 نحصل على نحو 36,14 بوصة.
يبلغ القطر 5√337 ≈ 91,79 cm: إنها شاشة تُباع على أنها 36 بوصة.
سيناريو آخر: إلى أي ارتفاع يصل سلم طوله 6,5 m؟
- قاعدة السلم على بعد 2,5 m من الحائط، والحائط عمودي، إذن السلم هو الوتر: c = 6,5 وa = 2,5.
- نستعمل قانون الضلع: b² = c² − a² = 6,5² − 2,5² = 42,25 − 6,25 = 36.
- نأخذ الجذر التربيعي: b = √36 = 6.
يصل السلم إلى ارتفاع 6 m بالضبط على الحائط.
فهم النتائج
أي ضلع هو الوتر؟
الوتر دائمًا مقابل للزاوية القائمة، وهو دائمًا أطول أضلاع المثلث. إذا أدخلت ضلعًا طوله يساوي الوتر أو يفوقه، تتوقف الحاسبة وتشرح السبب، لأن مثل هذا المثلث القائم غير موجود.
القيمة المضبوطة والقيمة المقربة
طول مثل 5√2 قيمة مضبوطة، أما 7,0711 فقيمة مقربة. في التمرين، اكتب القيمة المضبوطة إلا إذا طلب النص تقريبًا، ثم أعط القيمة العشرية بعدد الأرقام المطلوب. أما في ورش البناء فالقيمة العشرية هي المهمة.
المبرهنة العكسية والمبرهنة المضادة للعكس
إذا كان مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فالمثلث قائم الزاوية: هذه هي المبرهنة العكسية لفيثاغورس. وإذا لم يتساويا، فالمثلث ليس قائمًا: هذا هو استعمال المبرهنة المضادة للعكس. تعرض النتيجة المربعين معًا لتكتب المقارنة كاملة.
حاد الزوايا أم منفرج الزاوية
عندما لا يكون المثلث قائمًا، تخبرك المقارنة أيضًا بشكله. إذا كان مربع أطول ضلع أصغر من المجموع، فأكبر زاوية حادة، وإذا كان أكبر منه فهذه الزاوية منفرجة. مع 4 و5 و6 نحصل على 36 مقابل 41، فالمثلث حاد الزوايا.
نصائح وحدود
- ارسم شكلًا سريعًا وضع علامة الزاوية القائمة قبل الإدخال: الضلع المقابل لها هو c.
- حوّل كل الأطوال إلى الوحدة نفسها أولًا، مثلًا باستعمال محول الوحدات.
- احتفظ بالقيمة المضبوطة طوال التمرين، ولا تقرّب إلا الجواب النهائي.
- الأطوال المقيسة تكون مقربة، فقد يعطي مثلث قائم حقيقي 3 و4 و5,01. تشير النتيجة إلى المثلث شبه القائم.
أخطاء يجب تجنبها
- جمع الأطوال بدل جمع مربعاتها: √(3 + 4) لا يساوي 5.
- نسيان الجذر التربيعي في النهاية وإعطاء c² على أنه الطول.
- استعمال c² = a² + b² لإيجاد أحد ضلعي الزاوية القائمة، والصواب طرح المربعين.
- تطبيق المبرهنة على مثلث ليس قائم الزاوية.
أسئلة شائعة
ما هي مبرهنة فيثاغورس؟
في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين: c² = a² + b². الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائمًا أطول الأضلاع.
كيف أعرف أن المثلث قائم الزاوية؟
باستعمال المبرهنة العكسية لفيثاغورس: نقارن مربع أطول ضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين. إذا تساويا فالمثلث قائم الزاوية، وإلا فليس قائمًا.
لماذا تُكتب النتيجة 5√2؟
هذه هي القيمة المضبوطة: √50 = √(25 × 2) = 5√2. وتعطي الحاسبة أيضًا القيمة المقربة 7,0711 المفيدة للقياس أو الرسم.
هل يمكنني إدخال أعداد عشرية أو كسور؟
نعم، يمكنك كتابة 2,5 أو 2.5 أو 5/2. يبقى الحساب مضبوطًا، فضلعان طولهما 1,5 و2 يعطيان وترًا طوله 2,5 بالضبط.
هل 3 و4 و5 هو المثلث القائم الوحيد بأضلاع صحيحة؟
لا. مضاعفاته مثل 6 و8 و10 تصلح أيضًا، وكذلك ثلاثيات أخرى مثل 5 و12 و13 أو 8 و15 و17، وتسمى ثلاثيات فيثاغورس.
لماذا ترفض الحاسبة أطوالي في وضع المبرهنة العكسية؟
لا تشكل ثلاثة أطوال مثلثًا إلا إذا كان أطولها أقصر من مجموع الآخرين. مع 2 و3 و6 لا يمكن للأضلاع أن تلتقي، فلا يوجد ما نتحقق منه.