ما فائدة هذه الأداة؟
تطبق هذه الحاسبة مبرهنة طاليس المباشرة على الشكل المعتاد: مثلث ABC، ونقطة M على المستقيم (AB)، ونقطة N على المستقيم (AC)، ومستقيم (MN) يوازي (BC). اختر الطول المطلوب من بين AM وAB وAN وAC وMN وBC، وأدخل الأطوال التي تعرفها، فتحصل على النتيجة بالجداء المتقاطع.
أما الوضع الثاني فيستعمل مبرهنة طاليس العكسية: انطلاقًا من AM وAB وAN وAC يقارن النسبتين ويخبرك هل (MN) و(BC) متوازيان. يعمل الوضعان في شكل المثلث وفي وضعية الفراشة، حيث يلتقي المثلثان في A على شكل X.
ترافق كل نتيجة كتابةُ الحل كما تُنتظر في تمرين بالإعدادي: نص المبرهنة، ثم تساوي النسب بالأعداد، ثم الجداء المتقاطع، ثم الاستنتاج. وإذا كان الشكل مثلثًا قائم الزاوية، فإن حاسبة مبرهنة فيثاغورس تعطي الأضلاع الناقصة.
طريقة الاستخدام
- اختر «حساب طول» أو «المبرهنة العكسية»، ثم الشكل: مثلث أو فراشة.
- حدد الطول المطلوب وأدخل الأطوال المعروفة بالوحدة نفسها.
- اقرأ النتيجة والحل المفصل: تساوي النسب، ثم الجداء المتقاطع، ثم الاستنتاج.
تحتاج الحاسبة إلى الطول المقابل للمجهول في النسبة نفسها وإلى زوج كامل. لإيجاد AN مثلًا، أدخل AC ثم إما AM وAB، وإما MN وBC. وإذا ملأت الزوجين معًا، فيجب أن تتساوى نسبتاهما. يمكن أن تكون الأطوال أعدادًا عشرية بفاصلة أو نقطة، أو كسورًا مثل 3/4.
طريقة الحساب
AN/AC = AM/AB ⇒ AN × AB = AC × AM ⇒ AN = AC × AM ÷ AB
AM/AB = AN/AC (same order of points) ⇒ (MN) ∥ (BC)
النسب الثلاث متساوية لأن المثلث AMN تصغير (أو تكبير) للمثلث ABC. كل نسبة تضع ضلعًا من المثلث الصغير فوق الضلع المقابل له في المثلث الكبير: AM على AB، وAN على AC، وMN على BC.
لإيجاد طول، نكتب تساوي النسبة التي تحتويه مع نسبة معروفة، ثم نطبق الجداء المتقاطع. من AN/AC = AM/AB نحصل على AN × AB = AC × AM، إذن AN = AC × AM ÷ AB. تحتفظ الحاسبة بالكسور المضبوطة، فيبقى 10/3 كما هو ويُعرض أيضًا بقيمة تقريبية 3,3333.
في المبرهنة العكسية، تُحسب النسبتان AM/AB وAN/AC كلٌّ على حدة ثم تُقارنان بدقة تامة. ويعطي الجداءان المتقاطعان AM × AC وAN × AB الجواب نفسه دون قسمة، وهو تحقق مفيد.
مثال تطبيقي
المثال 1: حساب AN وMN
- في المثلث ABC، M تنتمي إلى [AB] وN تنتمي إلى [AC] و(MN) ∥ (BC). نعلم أن AM = 2 cm وAB = 5 cm وAC = 7,5 cm وBC = 6 cm.
- حسب مبرهنة طاليس: AM/AB = AN/AC = MN/BC، إذن 2/5 = AN/7,5 = MN/6.
- بالجداء المتقاطع: AN = 7,5 × 2 ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3.
- وبالطريقة نفسها: MN = 6 × 2 ÷ 5 = 12 ÷ 5 = 2,4.
AN = 3 cm وMN = 2,4 cm. النسبة هي 2/5 = 0,4: المثلث AMN تصغير للمثلث ABC.
سيناريو آخر: هل (MN) و(BC) متوازيان؟
- النقط A وM وB وكذا A وN وC مستقيمية بهذا الترتيب، مع AM = 3 وAB = 8 وAN = 4,5 وAC = 12.
- النسبة الأولى: AM/AB = 3/8 = 0,375. النسبة الثانية: AN/AC = 4,5/12 = 0,375.
- التحقق بالجداءين المتقاطعين: AM × AC = 3 × 12 = 36 وAN × AB = 4,5 × 8 = 36.
النسبتان متساويتان والنقط بالترتيب نفسه، إذن حسب مبرهنة طاليس العكسية فإن (MN) ∥ (BC).
فهم النتائج
النسبة k
القيمة المشتركة للنسب الثلاث هي معامل التصغير بين المثلثين. مع k = 0,4 يساوي كل ضلع من AMN جداء 0,4 في الضلع المقابل له من ABC، وتساوي مساحته k² = 0,16 من مساحة ABC.
مثلث أم فراشة
في شكل المثلث تقع M بين A وB، فيكون AM دائمًا أصغر من AB، وتتحقق الحاسبة من ذلك. أما في وضعية الفراشة فتقع M وN في الجهة الأخرى من A، ويمكن أن يكون k أي عدد موجب، حتى لو كان أكبر من 1.
لماذا يهم ترتيب النقط
تتطلب المبرهنة العكسية أن تكون النقط A وM وB وكذا A وN وC بالترتيب نفسه. فالنسب المتساوية مع M على [AB] وN خلف A تصف شكلًا آخر لا يكون فيه (MN) موازيًا لـ(BC). لهذا نختار الشكل قبل التحقق.
قياس ارتفاع بواسطة الظل
يُروى أن طاليس قاس هرمًا بهذه الطريقة. عصا طولها 1,5 m تلقي ظلًا طوله 2 m، وفي اللحظة نفسها تلقي شجرة ظلًا طوله 12 m. أشعة الشمس متوازية، إذن طول الشجرة 12 × 1,5 ÷ 2 = 9 m.
نصائح وحدود
- اكتب النسب الثلاث دائمًا بالترتيب نفسه: المثلث الصغير في البسط والمثلث الكبير في المقام.
- استعمل فقط النسبتين المفيدتين: التي تحتوي المجهول ونسبة معروفة بالكامل.
- في شكل المثلث، تأكد أن جوابك أصغر من الطول المقابل له: يجب أن يكون AN أصغر من AC.
- الطول الناقص هو في الحقيقة قاعدة ثلاثية: الجداء المتقاطع هو نفسه.
أخطاء يجب تجنبها
- الخلط بين النسب، مثل AM/AB = AC/AN: يجب أن يبقى المثلث الصغير في الجهة نفسها دائمًا.
- استعمال MB بدل AB: النسبة تتطلب أضلاعًا كاملة تُقاس انطلاقًا من A.
- تطبيق المبرهنة دون مستقيمين متوازيين، أو تطبيق العكسية دون التحقق من ترتيب النقط.
- استنتاج التوازي من نسب متقاربة فقط لأن الأطوال مقربة.
أسئلة شائعة
ماذا تقول مبرهنة طاليس؟
إذا كانت M على المستقيم (AB) وN على المستقيم (AC) وكان (MN) موازيًا لـ(BC)، فإن AM/AB = AN/AC = MN/BC. للمثلثين AMN وABC النسب نفسها.
كيف أستعمل مبرهنة طاليس العكسية؟
نحسب AM/AB وAN/AC كلًّا على حدة. إذا تساوتا وكانت النقط A وM وB وكذا A وN وC مستقيمية بالترتيب نفسه، فإن (MN) و(BC) متوازيان. وإذا اختلفتا فالمستقيمان غير متوازيين.
ما هي وضعية الفراشة؟
هي الشكل الذي تكون فيه M وN في الجهة الأخرى من A، فيتقاطع (BM) و(CN) في A على شكل X. تُطبق المبرهنة بالطريقة نفسها، لكن قد يكون AM أكبر من AB.
هل يمكنني استعمال MB بدل AB؟
ليس مباشرة. احسب أولًا AB = AM + MB في شكل المثلث، ثم استعمل AM/AB. لهذا السبب تطلب الحاسبة AB.
ماذا لو كانت النسبتان متقاربتين جدًا؟
تقارن الحاسبة الكسور المضبوطة. إذا كان الفرق أقل من 1 ٪ فإنها تشير إلى ذلك: مع أطوال مقيسة، فالمستقيمان على الأرجح متوازيان، لكن الحساب المضبوط لا يثبت ذلك.