معادلة من الدرجة الثانية

حاسبة مجانية لمعادلة الدرجة الثانية: المميز دلتا، والحلول المضبوطة والعشرية، والشكل النموذجي، والإشارة، ومنحنى الشلجم.

معادلتك

x² − 2x − 2 = 0

a وb وc بين −مليار ومليار: أعداد صحيحة أو عشرية (بفاصلة أو نقطة) أو كسور (3/4)، ويجب أن يكون a مختلفًا عن 0. جذور مضبوطة بجذور مبسطة وقيم عشرية مقربة إلى 4 أرقام، محسوبة بصيغة مستقرة.

تقرير الحساب- / - / -
الحلولx₁ = 1 − √3x₂ = 1 + √3

المميز Δ = 12 > 0: حلان، x₁ = 1 − √3 وx₂ = 1 + √3.

إشارة ثلاثية الحدود
x−∞x₁ ≈ −0,73x₂ ≈ 2,73+∞
f(x)+0−0+
معادلتكx² − 2x − 2 = 0
المميز ΔΔ = 12
الجذورx₁ ≈ −0,7321 ; x₂ ≈ 2,7321
الشكل المعمل(x − (1 − √3))(x − (1 + √3))
الشكل النموذجي(x − 1)² − 3
الرأسS(1 ; −3)
مجموع الجذرين2
جداء الجذرين−2
إشارة ثلاثية الحدودبإشارة a (موجب) خارج الجذرين، وبالإشارة المعاكسة بين x₁ وx₂
تقرير PDF يتضمن النتيجة والرسم البياني والجدول التفصيلي.

الحل بالتفصيل

  1. نحدد المعاملات:

    a = 1, b = −2, c = −2

  2. نحسب المميز Δ = b² − 4ac:

    Δ = (−2)² − 4 × 1 × (−2) = 4 + 8 = 12

  3. Δ > 0: للمعادلة حلان حقيقيان x = (−b ± √Δ) / 2a. نبسط √Δ:

    √12 = 2√3

  4. الحل الأول:

    x₁ = (2 − 2√3) / 2 = 1 − √3 ≈ −0,7321

  5. الحل الثاني:

    x₂ = (2 + 2√3) / 2 = 1 + √3 ≈ 2,7321

  6. الشكل المعمل a(x − x₁)(x − x₂):

    (x − (1 − √3))(x − (1 + √3))

  7. الشكل النموذجي a(x − α)² + β مع α = −b / 2a وβ = −Δ / 4a:

    α = 1, β = −3 → (x − 1)² − 3

  8. مجموع الجذرين وجداؤهما:

    x₁ + x₂ = −b/a = 2 ; x₁ × x₂ = c/a = −2

  9. إشارة ثلاثية الحدود: بإشارة a (موجب) خارج الجذرين، وبالإشارة المعاكسة بين x₁ وx₂.

ما فائدة هذه الأداة؟

تحل هذه الأداة أي معادلة من الدرجة الثانية ax² + bx + c = 0. تحسب المميز دلتا Δ، وتخبرك هل للمعادلة حلان أو حل مضاعف أو لا حل حقيقي لها، وتعطي كل حل في شكل مضبوط بجذور مبسطة مثل 1 + √3، وفي شكل عشري.

كما تعرض كل ما قد يطلبه الأستاذ بعد ذلك: الشكل المعمل، والشكل النموذجي a(x − α)² + β، والرأس S، ومجموع الجذرين وجداءهما، وإشارة ثلاثية الحدود في جدول، ومنحنى الشلجم مع جذوره ورأسه. وعندما يكون Δ سالبًا يمكنك عرض الحلين العقديين.

الأداة موجهة للتلاميذ في المغرب وغيره، من الجذع المشترك إلى البكالوريا. إذا كان a يساوي 0 فالمعادلة من الدرجة الأولى: استعمل بدلًا من ذلك حاسبة المعادلة من الدرجة الأولى.

طريقة الاستخدام

  1. أدخل a وb وc للمعادلة ax² + bx + c = 0 (مع a مختلف عن 0). المعامل الغائب يساوي 0.
  2. اقرأ Δ ثم الحلول: حلان أو حل مضاعف أو لا حل حقيقي حسب إشارة Δ.
  3. راجع الحل المفصل والشكلين المعمل والنموذجي وجدول الإشارة والشلجم.

يمكن أن تكون المعاملات أعدادًا صحيحة أو سالبة أو عشرية بفاصلة أو نقطة، أو كسورًا مثل 3/4. مع الأعداد الصحيحة أو الكسور تُكتب النتائج في شكل كسور كما في الكتب المدرسية. تتحدث النتيجة أثناء الكتابة، وزر المشاركة ينسخ رابطًا إلى المعادلة نفسها.

طريقة الحساب

Δ = b² − 4ac
Δ > 0: x₁ = (−b − √Δ) / 2a, x₂ = (−b + √Δ) / 2a  ·  Δ = 0: x₀ = −b / 2a  ·  Δ < 0: S = ∅ في ℝ
ax² + bx + c = a(x − α)² + β, α = −b / 2a, β = −Δ / 4a  ·  x₁ + x₂ = −b / a, x₁ × x₂ = c / a

كل شيء ينطلق من المميز Δ = b² − 4ac. إذا كان Δ موجبًا فجذره المربع موجود، وتعطي الصيغة x = (−b ± √Δ) / 2a حلين مختلفين. وإذا كان Δ منعدمًا فالحلان عدد واحد هو −b / 2a. وإذا كان Δ سالبًا فليس له جذر مربع حقيقي، ولا يوجد حل حقيقي.

تحتفظ الحاسبة بالمعاملات في شكل كسور مضبوطة وتبسط الجذر: √12 = √(4 × 3) = 2√3، إذن (2 ± 2√3) / 2 تصبح 1 ± √3. أما القيم العشرية فتحسبها بصيغة مستقرة عدديًا: تحسب أولًا الجذر الأكبر قيمة مطلقة، ثم الآخر بواسطة x₁ × x₂ = c / a، لتبقى الجذور الصغيرة جدًا دقيقة.

يأتي الشكل النموذجي من α = −b / 2a وβ = −Δ / 4a. الرأس S(α ; β) هو أدنى نقطة في الشلجم عندما يكون a موجبًا، وأعلى نقطة عندما يكون a سالبًا.

مثال تطبيقي

المثال 1: حل المعادلة 2x² − 3x − 2 = 0

  1. المعاملات: a = 2 وb = −3 وc = −2.
  2. المميز: Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25، و√25 = 5.
  3. Δ > 0 إذن للمعادلة حلان: x₁ = (3 − 5) / 4 = −1/2 وx₂ = (3 + 5) / 4 = 2.
  4. الشكل المعمل: 2(x + 1/2)(x − 2)، أي (2x + 1)(x − 2).

S = {−1/2 ; 2}. التحقق: المجموع 3/2 = −b/a والجداء −1 = c/a.

سيناريو آخر: حديقة مساحتها 40 m²

  1. حديقة مستطيلة طولها يزيد على عرضها بـ3 m ومساحتها 40 m². إذا كان العرض x فإن x(x + 3) = 40، أي x² + 3x − 40 = 0.
  2. Δ = 3² − 4 × 1 × (−40) = 9 + 160 = 169، و√169 = 13.
  3. x₁ = (−3 − 13) / 2 = −8 وx₂ = (−3 + 13) / 2 = 5. لا يمكن أن يكون العرض سالبًا، إذن x = 5.

عرض الحديقة 5 m وطولها 8 m: 5 × 8 = 40 m².

فهم النتائج

إشارة Δ

Δ > 0: حلان، ويقطع الشلجم محور الأفاصيل مرتين. Δ = 0: حل مضاعف، ويمس المحور في رأسه. Δ < 0: لا حل حقيقي، ويبقى الشلجم فوق المحور إذا كان a > 0 وتحته إذا كان a < 0.

الجذور المضبوطة والجذور المربعة

في المعادلة x² − 2x − 2 = 0 لدينا Δ = 12 وهو ليس مربعًا كاملًا. تكتب الحاسبة √12 = 2√3 وتعطي x = 1 − √3 وx = 1 + √3، أي تقريبًا −0,7321 و2,7321. احتفظ بالشكل المضبوط في التمرين.

الشكل النموذجي والرأس

يُكتب المثال نفسه (x − 1)² − 3. رأسه S(1 ; −3)، وبما أن a = 1 موجب، فإن −3 هي أصغر قيمة يمكن أن يأخذها التعبير.

إشارة ثلاثية الحدود

لثلاثية الحدود إشارة a خارج الجذرين والإشارة المعاكسة بينهما. يعرض جدول الإشارة في التقرير ذلك مع قيمتي x₁ وx₂، جاهزًا لحل متراجحة مثل x² − 2x − 2 < 0.

نصائح وحدود

  • اكتب المعادلة أولًا على الشكل ax² + bx + c = 0: كل الحدود في طرف واحد.
  • ضع الأعداد السالبة بين قوسين عند التعويض: (−3)² وليس −3².
  • تحقق من الجذرين بالمجموع −b/a والجداء c/a.
  • للتحقق من عدد، تحسب الآلة الحاسبة العلمية تعابير مثل (3 + sqrt(17)) / 4.

أخطاء يجب تجنبها

  • نسيان أن b² موجب أو منعدم دائمًا: (−3)² = 9.
  • قسمة √Δ وحدها على 2a بدل قسمة البسط كله −b ± √Δ.
  • الاحتفاظ بطول أو ثمن سالب في مسألة دون التحقق من معناه.
  • كتابة «لا يوجد حل» عندما يكون Δ < 0 في درس الأعداد العقدية، حيث يوجد حلان.

أسئلة شائعة

كيف أحسب المميز دلتا؟

Δ = b² − 4ac. في المعادلة 2x² − 3x − 2 = 0 لدينا Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. إشارة Δ تحدد عدد حلول المعادلة.

ماذا أفعل عندما يكون Δ سالبًا؟

ليس للمعادلة حل حقيقي، وتحتفظ ثلاثية الحدود بإشارة a. في السنة الثانية بكالوريا نكتب الحلين العقديين z = (−b ± i√(−Δ)) / 2a: فعّل الخانة لعرضهما.

ما هو الجذر المضاعف؟

عندما يكون Δ = 0 يتطابق الحلان: x₀ = −b / 2a. يمس الشلجم محور الأفاصيل في نقطة واحدة هي رأسه.

وماذا لو كان a = 0؟

عندها لا يوجد حد x² وتكون المعادلة من الدرجة الأولى. تشير الحاسبة إلى ذلك وتقترح حاسبة المعادلة من الدرجة الأولى.

لماذا لا تُستعمل الصيغة المعتادة للقيم العشرية؟

عندما يكون b² أكبر بكثير من 4ac، كما في x² + 100000000x + 1 = 0، يؤدي طرح عددين متقاربين جدًا إلى ضياع الجذر الصغير. والصيغة المستقرة تتجنب هذا الطرح.

معادلة من الدرجة الأولىالدوالنظام معادلات خطيةالآلة الحاسبة العلميةالكسورمبرهنة فيثاغورس