التكامل

حساب مجاني للدالة الأصلية والتكامل من a إلى b والمساحة والقيمة المتوسطة خطوة بخطوة، مع المكاملة بالأجزاء.

ما الذي تبحث عنه

أمثلة: x² وx·e^x و2x/(x²+1) وsin(x) و√x وln(x). المتغير هو x، ويُعرف e وπ.

عدد أو كسر (1/2) أو pi أو e: مثل 0 أو 1/2 أو pi أو e.

الدوال المعروفة: كثيرات الحدود و√ وln وexp وsin وcos وtan والصيغ u′/u وu′uⁿ وu′eᵘ مع المكاملة بالأجزاء (x·eˣ وln x وx·ln x وx·sin x وx·cos x). تُراجع القيم المضبوطة بطريقة سيمبسون، وإلا يُعطى تقدير فقط.

تقرير الحساب- / - / -
التكامل x·eˣ dx = 1

∫_0^1 x·eˣ dx = 1 (المكاملة بالأجزاء).

00,20,40,60,8100,511,522,5
ما الذي تبحث عنهالتكامل من a إلى b
f(x)x·eˣ
الحد الأدنى a0
الحد الأعلى b1
الطريقةالمكاملة بالأجزاء
الدالة الأصلية المستعملة F(x)F(x) = x·eˣ − eˣ
العبارة [F(x)][x·eˣ − eˣ]_0^1 = 1
التحقق (سيمبسون)≈ 1
القيمة المتوسطة μ1
تقرير PDF يتضمن النتيجة والرسم البياني والجدول التفصيلي.

الحل بالتفصيل

  1. الدالة ⁦f⁩ متصلة على ⁦⁦[0 ; 1]⁩⁩ إذن التكامل موجود ويمكن استعمال دالة أصلية للدالة ⁦f⁩.

  2. نبحث عن دالة أصلية ⁦F⁩ للدالة ⁦f⁩ المعرفة بـ ⁦f(x) = ⁦x·eˣ⁩⁩.

  3. المكاملة بالأجزاء: نضع ⁦u = ⁦x⁩⁩ و⁦v′ = ⁦eˣ⁩⁩. إذن ⁦u′ = ⁦1⁩⁩ و⁦v = ⁦eˣ⁩⁩.

  4. ⁦∫ u v′ dx = uv − ∫ u′v dx = ⁦x·eˣ⁩ − ∫ (⁦eˣ⁩) dx⁩.

  5. نضع ⁦u = ⁦x⁩⁩ ومنه ⁦u′ = ⁦1⁩⁩.

  6. الصيغة ⁦u′eᵘ⁩: ⁦∫ u′eᵘ dx = eᵘ⁩.

  7. دالة أصلية للدالة ⁦f⁩ هي ⁦F(x) = ⁦x·eˣ − eˣ⁩⁩. والدوال الأصلية للدالة ⁦f⁩ هي ⁦F(x) + C⁩ حيث ⁦C ∈ ℝ⁩.

  8. بالنسبة للتكامل تكتب الصيغة ⁦∫_⁦0⁩^⁦1⁩ u v′ dx = [uv]_⁦0⁩^⁦1⁩ − ∫_⁦0⁩^⁦1⁩ u′v dx⁩؛ ونحسبها بالدالة الأصلية التي وجدناها.

  9. ⁦⁦∫_0^1 x·eˣ dx⁩ = [F(x)]_⁦0⁩^⁦1⁩ = F(⁦1⁩) − F(⁦0⁩)⁩ حيث ⁦F(x) = ⁦x·eˣ − eˣ⁩⁩.

  10. ⁦F(⁦1⁩) = ⁦0⁩⁩ و⁦F(⁦0⁩) = ⁦−1⁩⁩.

  11. ⁦⁦∫_0^1 x·eˣ dx⁩ = ⁦1⁩⁩.

  12. تحقق عددي (طريقة سيمبسون): ⁦≈ ⁦1⁩⁩.

ما فائدة هذه الأداة؟

تعطي هذه الأداة دالة أصلية لدالة، وقيمة تكامل من a إلى b، والمساحة تحت منحنى والقيمة المتوسطة، وتكتب الحل كما في كراسة الثانية بكالوريا. تشمل كثيرات الحدود و√ وln وexp وsin وcos وصيغ المقرر: u′/u وu′uⁿ وu′eᵘ، إضافة إلى المكاملة بالأجزاء في x·eˣ وln x وx·ln x وx·sin x وx·cos x.

تُراجع كل دالة أصلية باشتقاقها ومقارنتها مع f، ويُقارن كل تكامل بطريقة سيمبسون. إذا فشل التحقق لا تظهر أي نتيجة مضبوطة. وعندما لا تنطبق أي طريقة من المقرر، مثل e^(x²)، تعطي الأداة قيمة عددية فقط موسومة بأنها تقدير، ولا تخترع دالة أصلية أبدًا.

تناسب تلاميذ العلوم الرياضية والعلوم التجريبية الذين يريدون مراجعة تمرين قبل تحريره. ولاشتقاق دالة استعمل حاسبة المشتقات.

طريقة الاستخدام

  1. اكتب الدالة بالمتغير x، مثل x·e^x أو 2x/(x²+1) أو sin(x)، أو اضغط على مثال.
  2. اختر الدالة الأصلية أو التكامل من a إلى b أو المساحة، ثم أدخل الحدين a وb (أعدادًا أو كسورًا أو pi أو e).
  3. اقرأ النتيجة المضبوطة وقيمتها العشرية، والمنحنى مع المساحة الملونة، والحل المفصل، ثم انسخه أو نزّل ملف PDF.

يقبل الحدان الأعداد والكسور مثل 1/2 وكذلك pi وe. يتطلب نمط المساحة a < b. تُكتب النتيجة المضبوطة بالعبارة [F(x)] مع الحدين، ولا يظهر الرمز ≈ إلا للقيمة المدورة. ينسخ زر المشاركة رابطًا بالدالة والحدين نفسيهما.

طريقة الحساب

f(x)F(x)
kkx
xⁿ (n ≠ −1)xⁿ⁺¹/(n + 1)
1/xln|x|
eˣeˣ
cos xsin x
sin x−cos x
u′uⁿ (n ≠ −1)uⁿ⁺¹/(n + 1)
u′/uln|u|
u′/√u2√u
u′eᵘeᵘ

∫ u v′ dx = [uv] − ∫ u′v dx  ·  ∫ab f(x) dx = [F(x)]ab = F(b) − F(a)
المساحة: 𝒜 = ∫ab |f(x)| dx بوحدة المساحة (و.م)  ·  القيمة المتوسطة: μ = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx

الدالة الأصلية للدالة f هي دالة F تحقق F′ = f، وهي غير وحيدة لأنه يمكن دائمًا إضافة ثابت C. لحساب تكامل من a إلى b نأخذ أي دالة أصلية ونحسب F(b) − F(a) ويرمز إليه بـ [F(x)] مع الحدين a وb.

للتعرف على الصيغة u′uⁿ أو u′/u أو u′eᵘ نضع u ونحسب u′ ثم نقارن. تقبل الأداة عاملًا ثابتًا: x·e^(x²) هو نصف 2x·e^(x²) إذن دالة أصلية هي ½e^(x²). وفي حالة u′/u نكتب ln|u|، ونكتب ln(u) إذا كان u > 0.

تفيد المكاملة بالأجزاء في الجداء. نختار u وv′ ونحسب u′ وv ثم ∫ u v′ = [uv] − ∫ u′v. من أجل ln x نضع u = ln x وv′ = 1. وتُحسب المساحة بين المنحنى ومحور الأفاصيل بالقيمة المطلقة |f|: نجزئ عند النقط التي تغير فيها f إشارتها.

مثال تطبيقي

مثال 1: التكامل من 0 إلى 1 للدالة x·eˣ (بالأجزاء)

  1. نضع u = x وv′ = eˣ. إذن u′ = 1 وv = eˣ.
  2. ∫ u v′ dx = uv − ∫ u′v dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx، ومنه F(x) = x·eˣ − eˣ.
  3. [F(x)] من 0 إلى 1 يساوي F(1) − F(0)، حيث F(1) = e − e = 0 وF(0) = 0 − 1 = −1.
  4. التكامل يساوي 0 − (−1) = 1. وتعطي طريقة سيمبسون القيمة 1 أيضًا.

التكامل من 0 إلى 1 للدالة x·eˣ يساوي 1 (قيمة مضبوطة).

سيناريو آخر: مساحة f(x) = x² − 1 على [0 ; 2]

  1. f(x) = 0 من أجل x = 1: f ≤ 0 على [0 ; 1] وf ≥ 0 على [1 ; 2]. نجزئ عند 1.
  2. دالة أصلية هي F(x) = x³/3 − x.
  3. على [0 ; 1]: F(1) − F(0) = −2/3 − 0 = −2/3 إذن المساحة 2/3.
  4. على [1 ; 2]: F(2) − F(1) = 2/3 − (−2/3) = 4/3. المجموع 2/3 + 4/3 = 2.

𝒜 = 2 و.م (بينما تكامل f من 0 إلى 2 يساوي 2/3: يجب التجزئة).

فهم النتائج

الدالة الأصلية والثابت C

إذا كانت F دالة أصلية للدالة f فإن F + C دالة أصلية أيضًا لكل عدد حقيقي C. دالتان أصليتان لنفس الدالة على مجال تختلفان بثابت. تعرض الأداة F(x) + C في نمط الدالة الأصلية.

العبارة [F(x)] والتكامل

تعني [F(x)] مع الحدين a وb القيمة F(b) − F(a). لا تتعلق النتيجة بالدالة الأصلية المختارة لأن الثابت يختفي في الفرق. يوجد التكامل إذا كانت f متصلة على [a ; b].

المساحة ووحدة المساحة

إذا كانت f موجبة فالمساحة تحت المنحنى هي التكامل. وإذا غيرت f إشارتها نجزئ ونأخذ القيمة المطلقة لكل جزء. وحدة المساحة (و.م) هي مساحة المستطيل المكون من وحدتي المحورين.

القيمة المتوسطة

القيمة المتوسطة للدالة f على [a ; b] هي μ = (1/(b − a)) ∫ f. من أجل x² على [0 ; 3] يساوي التكامل 9 وμ = 9/3 = 3. وهي ارتفاع المستطيل الذي له المساحة نفسها.

نصائح وحدود

  • اكتب القوى بالرمز ^ أو ²، مثل (2x+1)^5، واستعمل الأقواس للكسور: 2x/(x²+1).
  • من أجل جدول التغيرات تكمل دراسة الدوال هذه الصفحة.
  • تحقق من نص التمرين: التكامل من −1 إلى 1 للدالة 1/x غير موجود لأن 1/x غير معرفة في 0.
  • القيمة الموسومة بـ«تقدير» ليست برهانا: في الامتحان يجب إيجاد الدالة الأصلية.

أخطاء يجب تجنبها

  • نسيان الإشارة السالبة في الدالة الأصلية للدالة sin x وهي −cos x.
  • كتابة ln(x) بدل ln|x| عندما يمكن أن يكون x سالبًا.
  • حساب F(a) − F(b) بدل F(b) − F(a).
  • عدم تجزئة المساحة حيث تغير f إشارتها، فتتعوض الأجزاء بعضها ببعض.

أسئلة شائعة

كيف أحسب تكاملًا؟

نبحث عن دالة أصلية F للدالة f، ثم يكون تكامل f(x) من a إلى b يساوي F(b) − F(a). من أجل f(x) = x² من 0 إلى 1: F(x) = x³/3 إذن التكامل يساوي 1/3 − 0 = 1/3.

متى أستعمل المكاملة بالأجزاء؟

من أجل جداء مثل x·eˣ أو من أجل ln x. نضع u = x وv′ = eˣ ثم ∫ u v′ = [uv] − ∫ u′v. هنا تكامل x·eˣ من 0 إلى 1 يساوي [x·eˣ − eˣ] = 1.

كيف أحصل على مساحة بوحدة المساحة؟

المساحة بين المنحنى ومحور الأفاصيل هي ∫ |f(x)| dx، ونجزئ حيث تغير f إشارتها. من أجل x² − 1 على [0 ; 2] نجزئ عند 1 فتكون المساحة 2 و.م.

كيف أتعرف على الصيغة u′/u؟

البسط هو مشتقة المقام، بتقريب عامل ثابت. من أجل 2x/(x² + 1) لدينا u = x² + 1 وu′ = 2x إذن دالة أصلية هي ln(x² + 1). ويساوي التكامل من 0 إلى 1 القيمة ln 2.

لماذا تعطي بعض التكاملات تقديرًا فقط؟

دوال مثل e^(x²) ليس لها دالة أصلية بصيغ المقرر. تعطي الأداة حينئذ قيمة سيمبسون، حوالي 1,4627 من 0 إلى 1، موسومة بأنها تقدير.

هل يمكن حساب تكامل (2x + 1)⁵؟

نعم: إنها الصيغة u′uⁿ بتقريب العامل 1/2. دالة أصلية هي (2x + 1)⁶/12، ويساوي التكامل من 0 إلى 1 القيمة 182/3.

المشتقةالنهاياتالدوالمساحة الأشكالالآلة الحاسبة العلميةالكسور