ما فائدة هذه الأداة؟
تشتق هذه الحاسبة دالة كما يُطلب في السنة الثانية باكالوريا (العلوم الرياضية والعلوم التجريبية): كثيرات الحدود والكسور والجذر المربع وln والدالة الأسية وsin وcos وtan وتركيباتها. تكتب كل قاعدة مستعملة في خطوة، مع تعويض u وv وu′ وv′، ثم تعطي f′(x) بالشكل الذي يُكتب في القسم.
كما تعطي شروط التعريف (x ≠ 3 وx > 0…) والعدد المشتق f′(a) ومعادلة المماس عند x = a والمشتقة الثانية f″(x). تُقارن النتيجة بالميل العددي للمنحنى في عدة نقط، وعند أدنى شك لا يُعرض شيء.
هي أداة للتحقق من تمرين وفهم الطريقة، قبل دراسة إشارة f′ بواسطة دراسة الدوال أو حساب نهاية.
طريقة الاستخدام
- اكتب الدالة بالمتغير x، مثل 3x² − 2x + 1 أو (2x + 1)/(x − 3) أو ln(x)/x أو x·e^x أو sqrt(x² + 1)، أو اضغط على أحد الأمثلة.
- اختياريًا: أدخل نقطة a لتحصل على العدد المشتق f′(a) والمماس، وفعّل «إظهار f″(x)» لعرض المشتقة الثانية.
- اقرأ المشتقة والشروط، ثم الحل المفصل: خطوة لكل قاعدة مستعملة، كما في تصحيح تمرين.
اكتب 2x بدل 2 × x و3(x + 1) بدل 3 × (x + 1)، وx^2 أو x² للقوة، وsqrt(x) أو √(x) للجذر، وe^x أو exp(x)، وln(x). الزوايا بالراديان. زر المشاركة ينسخ رابطًا يحمل الدالة والنقطة نفسيهما.
طريقة الحساب
(uv)′ = u′v + uv′ · (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² · (1/v)′ = −v′/v² · (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹
(√u)′ = u′/(2√u) · (ln u)′ = u′/u · (e^u)′ = u′·e^u
(sin u)′ = u′·cos u · (cos u)′ = −u′·sin u · (tan u)′ = u′(1 + tan² u)
المماس عند a: y = f′(a)(x − a) + f(a)
مع (uv)′ و(u/v)′ نضع أولًا u وv ثم نحسب u′ وv′. من أجل دالة مركبة مثل √(3x² + 1) نأخذ u = 3x² + 1: (√u)′ = u′/(2√u) = 6x/(2√(3x² + 1)) = 3x/√(3x² + 1). بعد ذلك تُبسَّط النتيجة: تجميع الحدود، ونشر البسط، وإخراج العوامل المشتركة.
تأتي الشروط من الدالة نفسها: يجب أن يكون المقام غير منعدم، وأن يكون مدخل ln أو √ موجبًا قطعًا. عندما يكون التعبير من الدرجة الأولى نحل الشرط (2x − 1 > 0 تعطي x > 1/2)، وإلا كتبناه كما هو، مثل x² − 4 > 0.
العدد المشتق f′(a) هو ميل المماس عند النقطة التي أفصولها a. ومعادلة المماس هي y = f′(a)(x − a) + f(a)، وتُبسَّط إلى y = mx + p بقيم مضبوطة (كسور، e، ln 2…) كلما أمكن ذلك.
مثال تطبيقي
مثال 1: f(x) = (2x + 1)/(x − 3) عند النقطة a = 4
- الشرط: x − 3 ≠ 0، إذن f قابلة للاشتقاق على ℝ∖{3}.
- نضع u = 2x + 1 وv = x − 3، إذن u′ = 2 وv′ = 1.
- خارج القسمة: f′(x) = (u′v − uv′)/v² = (2(x − 3) − (2x + 1))/(x − 3)² = −7/(x − 3)².
- عند a = 4: f(4) = 9 وf′(4) = −7.
- المماس: y = f′(4)(x − 4) + f(4) = −7(x − 4) + 9 = −7x + 37.
f′(x) = −7/(x − 3)²، و(T): y = −7x + 37.
سيناريو آخر: f(x) = x·e^x عند النقطة a = 0
- f قابلة للاشتقاق على ℝ. نضع u = x وv = e^x، إذن u′ = 1 وv′ = e^x.
- الجداء: f′(x) = u′v + uv′ = e^x + x·e^x = (x + 1)e^x.
- عند a = 0: f(0) = 0 وf′(0) = 1، إذن (T): y = x.
- المشتقة الثانية: نشتق (x + 1)e^x بقاعدة الجداء نفسها، f″(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x، وf″(0) = 2.
f′(x) = (x + 1)e^x وf″(x) = (x + 2)e^x و(T): y = x.
فهم النتائج
العدد المشتق والمماس
العدد المشتق f′(a) هو نهاية معدل التغير (f(x) − f(a))/(x − a) عندما يؤول x إلى a. هندسيًا هو المعامل الموجه للمماس عند a. وإذا كان f′(a) = 0 فالمماس أفقي.
قابلية الاشتقاق ومجموعة التعريف
لا تكون الدالة قابلة للاشتقاق إلا حيث تكون معرفة وحيث تنطبق القواعد. الدالة √x معرفة عند 0 لكنها غير قابلة للاشتقاق فيه: f′(x) = 1/(2√x) لا توجد إلا من أجل x > 0.
إشارة المشتقة
إذا كانت f′ > 0 على مجال فإن f تزايدية قطعًا، وإذا كانت f′ < 0 فهي تناقصية قطعًا، وإذا انعدمت f′ مغيرة إشارتها فلـ f قيمة قصوى أو دنيا. وتكتمل الدراسة بحساب النهايات عند محدات مجموعة التعريف.
المشتقة الثانية
f″ هي مشتقة f′. إذا كانت f″ > 0 فالمنحنى محدب (فوق مماساته)، وإذا انعدمت f″ مغيرة إشارتها فللمنحنى نقطة انعطاف.
نصائح وحدود
- تحقق دائمًا من الشروط: مشتقة ln(x) لا معنى لها إلا من أجل x > 0.
- للمقارنة مع إجابتك انشر أو حلل إلى عوامل: (x + 1)e^x وx·e^x + e^x متساويان.
- من أجل دالة أصلية أو مساحة استعمل حاسبة التكامل: التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق.
- النتيجة مضبوطة (كسور، e، ln) والقيمة العشرية تُعلَّم بالرمز ≈. تساعدك الأداة على التحقق، أما تحرير الجواب في الامتحان فيبقى عليك.
أخطاء يجب تجنبها
- نسيان العامل u′ في الدالة المركبة: (e^(2x))′ = 2e^(2x) وليس e^(2x).
- كتابة (uv)′ = u′v′: الصيغة الصحيحة هي u′v + uv′.
- عكس ترتيب بسط خارج القسمة: الصحيح u′v − uv′ بهذا الترتيب.
- اشتقاق ln(x²) إلى 1/x²: المشتقة الصحيحة 2x/x² = 2/x.
أسئلة شائعة
كيف نشتق خارج قسمة؟
نضع u وv ثم نطبق (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². من أجل f(x) = (2x + 1)/(x − 3): لدينا u′ = 2 وv′ = 1، إذن f′(x) = (2(x − 3) − (2x + 1))/(x − 3)² = −7/(x − 3)² مع x ≠ 3.
كيف نجد معادلة المماس؟
عند x = a تكتب المعادلة y = f′(a)(x − a) + f(a). من أجل f(x) = x² عند a = 1: f(1) = 1 وf′(1) = 2، إذن y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
ما مشتقة ln u وe^u؟
(ln u)′ = u′/u مع u > 0، و(e^u)′ = u′·e^u. مثلًا (ln(2x − 1))′ = 2/(2x − 1) و(e^(2x + 1))′ = 2e^(2x + 1).
ماذا أفعل إذا لم تظهر المشتقة؟
تحقق من الكتابة: يُشار تحت الخانة إلى قوس ناقص أو كلمة غير معروفة. اكتب ln للوغاريتم النيبيري، أما «log» فمرفوضة لأنها غير واضحة.
لماذا لا توجد f′(a)؟
لأن f أو f′ غير معرفة عند a، مثل 1/x عند 0 أو √x عند 0. عندئذ لا يوجد عدد مشتق ولا مماس في هذه النقطة.
هل النتائج موثوقة؟
تُقارن كل مشتقة بالميل العددي للدالة f في عدة نقط، وإذا كان الفرق كبيرًا يُرفض الحساب ولا يُعرض شيء.