ما فائدة هذه الأداة؟
تتبع هذه الآلة لحساب النهايات طريقة مقرر السنة الثانية باكالوريا. تكتب f(x) وتختار النقطة (عددا a أو على اليسار a⁻ أو على اليمين a⁺ أو +∞ أو −∞) فتكتب الحل كما يفعل الأستاذ: التعويض، وتسمية الشكل غير المحدد، والتعميل، والمرافق، والحدود ذات أعلى درجة، والنهايات الاعتيادية أو المقارنة بين النمو.
تغطي الدوال المشتركة بين مسلك العلوم الرياضية ومسلك العلوم التجريبية: الحدوديات والدوال الجذرية والجذور المربعة وln والدالة الأسية وsin وcos وتركيباتها. وتُقارَن كل نتيجة مضبوطة بقيم f قرب النقطة قبل عرضها.
وعندما لا تنطبق أي طريقة من الدرس تعرض الأداة تقديرا فقط مكتوبا عليه «≈ تقدير، وليس برهانا»، ولا تخترع حلا أبدا. ولمتابعة التمرين انتقل إلى دراسة الدوال أو إلى المشتقة.
طريقة الاستخدام
- اكتب الدالة بالمتغير x، مثل (x²−4)/(x−2) أو sqrt(x²+1)−x أو ln(x)/x أو sin(3x)/x.
- اختر ما يؤول إليه x: عدد a (من الجهتين أو على اليسار a⁻ أو على اليمين a⁺) أو +∞ أو −∞.
- اقرأ النهاية والشكل غير المحدد والطريقة والحل المفصل؛ وإذا كان لـ f مقارب عند هذه النقطة فإنه يُذكر.
اكتب 2x بدل 2 × x، وx² أو x^2 للقوة، وsqrt(x) أو √x للجذر، وe^x أو exp(x) للدالة الأسية. الأمثلة الخمسة تحت خانة الإدخال تملأ الدالة والنقطة. وزر المشاركة ينسخ رابطا بالدالة والنقطة والجهة نفسها.
طريقة الحساب
نهايات اعتيادية: sin x / x → 1 · (eˣ − 1)/x → 1 · ln(1 + x)/x → 1 · (1 − cos x)/x² → 1/2 (عند 0)
المقارنة بين النمو: ln x / x → 0 · eˣ / x → +∞ (عند +∞) · x ln x → 0 (عند 0⁺) · x eˣ → 0 (عند −∞)
نبدأ دائما بتعويض x بالعدد a. إذا كانت f معرفة في a (حدودية، أو كسر لا ينعدم مقامه، أو جذر عدد موجب) فالنهاية هي f(a). وإلا نحدد الشكل: 0/0 لكسر ينعدم بسطه ومقامه، وk/0 عندما ينعدم المقام فقط، وفي اللانهاية ∞/∞ و∞ − ∞، وللجداء 0 × ∞.
في الشكل 0/0 نعمل على التعميل بـ (x − a) في الحدوديات أو نضرب في المرافق عندما يظهر جذر. وفي اللانهاية تتصرف الحدودية مثل حدها ذي أعلى درجة ويتصرف الكسر مثل خارج الحدين الغالبين. وفي k/0 ندرس إشارة المقام على اليسار وعلى اليمين: إذا اختلفت الإشارتان فلا توجد نهاية.
نهاية لا منتهية في a تعطي المقارب العمودي x = a، ونهاية منتهية l عند ±∞ تعطي المقارب الأفقي y = l. وتُستعمل مبرهنة الدركي مع دوال مثل sin(x)/x عند +∞ المؤطرة بين −1/x و1/x.
مثال تطبيقي
مثال 1: lim x→2 (x² − 4)/(x − 2)
- نعوض x بـ 2: x² − 4 → 0 وx − 2 → 0. إنه الشكل غير المحدد 0/0.
- نعمل التعميل: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). من أجل x ≠ 2 لدينا f(x) = x + 2.
- الدالة x + 2 متصلة في 2 إذن النهاية تساوي 2 + 2 = 4.
- التحقق العددي: f(2,001) = 4,001.
lim x→2 (x² − 4)/(x − 2) = 4 (الشكل 0/0 رُفع بالتعميل).
سيناريو آخر: lim x→+∞ (√(x² + x) − x)
- عند +∞ لدينا √(x² + x) → +∞ و−x → −∞: إنه الشكل غير المحدد ∞ − ∞.
- نضرب ونقسم في المرافق √(x² + x) + x فنجد x/(√(x² + x) + x).
- الحدود الغالبة تعطي x/(x + x) = 1/2 إذن النهاية هي 1/2.
- التحقق العددي: من أجل x = 10 000 لدينا f(x) ≈ 0,499988.
lim x→+∞ (√(x² + x) − x) = 1/2: المستقيم y = 1/2 مقارب أفقي.
فهم النتائج
الشكل غير المحدد
الشكل غير المحدد ليس نهاية، بل كتابة لا تسمح فيها قواعد العمليات على النهايات بالاستنتاج. حسب الدالة قد يساوي 0/0 العدد 4 أو 0 أو +∞. يجب تغيير كتابة f(x)، وتسمي الأداة الشكل قبل تطبيق الطريقة.
النهاية على اليسار وعلى اليمين
توجد النهاية في a فقط إذا تساوت النهايتان على اليسار وعلى اليمين. بالنسبة لـ 1/x عند 0 هما −∞ و+∞: لا توجد نهاية، ومع ذلك فالمستقيم x = 0 مقارب عمودي.
النهايات الاعتيادية
تؤول sin(x)/x و(eˣ − 1)/x و ln(1 + x)/x إلى 1 عند 0. في sin(3x)/x نكتب 3 × sin(3x)/(3x) مع X = 3x الذي يؤول إلى 0، فالنهاية هي 3.
المقارنة بين النمو
عند +∞ تتغلب الدالة الأسية على كل قوة لـ x، وتتغلب كل قوة على ln x. إذن eˣ/x² → +∞ وln(x)/x → 0. وبهذه القاعدة نرفع الأشكال ∞/∞ و0 × ∞ مع ln وexp.
نصائح وحدود
- عوّض x بـ a أولا: كثير من النهايات تنتهي عند هذه الخطوة.
- تُكتب الصيغ بالمتغير x، وللجذر استعمل sqrt(…) أو √.
- إذا اختلفت الإشارة من جهتي النقطة فاختر «على اليسار» ثم «على اليمين».
- التقدير ليس برهانا: في الامتحان يجب كتابة الطريقة.
أخطاء يجب تجنبها
- كتابة 0/0 = 0 أو ∞ − ∞ = 0: هذه أشكال غير محددة.
- نسيان إشارة المقام في k/0: النهاية +∞ على يمين 3 و−∞ على يسارها من أجل 1/(x − 3).
- الاحتفاظ بكل حدود الحدودية بدل الحد الغالب عندما يؤول x إلى اللانهاية.
- نسيان مجموعة التعريف: ln(x) عند 0 تُحسب من اليمين فقط.
أسئلة شائعة
كيف نرفع الشكل غير المحدد 0/0؟
في خارج قسمة حدوديتين نعمل على التعميل بـ (x − a) في البسط والمقام ثم نبسط. من أجل (x² − 4)/(x − 2) في 2: x² − 4 = (x − 2)(x + 2) إذن f(x) = x + 2 والنهاية تساوي 4.
ما نهاية 1/(x − 3) في 3؟
الشكل k/0 ويلزم تحديد إشارة المقام. على يمين 3 يكون x − 3 > 0 والنهاية +∞، وعلى يسارها x − 3 < 0 والنهاية −∞. الجهتان مختلفتان: لا توجد نهاية في 3.
ماذا لو أعطت الأداة تقديرا فقط؟
لم تُتعرف أي طريقة من الدرس. القيمة المعروضة ناتجة عن حساب f قرب النقطة: تساعد على تخمين النهاية لكنها ليست برهانا يُنقل في الإجابة.
كيف أحسب نهاية عند اللانهاية؟
نحدد الشكل ثم نحتفظ بالحد الغالب: (3x² + 1)/(x² − 5) تتصرف مثل 3x²/x² = 3. وفي فرق جذرين نستعمل المرافق.
ماذا يعني الرمز 0⁺؟
هي نهاية بقيم موجبة. مثلا x ln x → 0 عندما يؤول x إلى 0 بقيم موجبة، و1/x يؤول إلى +∞ عند 0⁺.
ما فائدة النهاية في المقاربات؟
نهاية لا منتهية في a تعطي المقارب العمودي x = a، ونهاية منتهية l عند +∞ أو −∞ تعطي المقارب الأفقي y = l. وتشير الأداة إلى ذلك.